Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez pkt

[krzysiokal]

Mam zadanko:
Napisz równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez pkt \(\displaystyle{ P=(2,-3,-1)}\) prostopadły do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi:}\) \(\displaystyle{ 3x+2z-6=0}\)
Przedstaw w postaci parametrycznej i krawędziowej.
Zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \vec{n}}\)\(\displaystyle{ =(3,0,2)}\)
\(\displaystyle{ x=3t}\)
\(\displaystyle{ y=-2}\)
\(\displaystyle{ z=3+2t}\)
\(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\)

i co mam teraz zrobić lub jak ktoś może rozwiązać lub mnie dalej naprowadzić.

[jutrvy]

No dobrze, już znasz wektor \(\displaystyle{ n}\), który jest wektorem kierunkowym Twojej prostej - to jest bardzo ładnie

Teraz trzeba sprawić, żeby prosta, którą masz wyznaczyć spełniła drugi warunek, to znaczy, żeby przechodziła przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Jak wygląda równanie ogólne prostej?

\(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\).

Masz wektor kierunkowy - wstaw go do ogólnego równania prostej. Jak już to zrobisz, to zostanie już tylko wyznaczenie \(\displaystyle{ D}\) tak, żeby Twoja prosta przechodziła przez \(\displaystyle{ P}\), prawda?

[kerajs]

Jak wygląda równanie ogólne prostej?
\(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\).
Masz wektor kierunkowy - wstaw go do ogólnego równania prostej. Jak już to zrobisz, to zostanie już tylko wyznaczenie tak, żeby Twoja prosta przechodziła przez P, prawda?

Niestety nie, bo podałeś równanie ogólne płaszczyzny.

Wektor normalny płaszczyzny to kierunkowy prostej.
Stąd postać kierunkowa:
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{3} = \frac{y+3}{0}= \frac{z+1}{2}}\)
parametryczna:
\(\displaystyle{ x=2+3t \wedge y=-3 \wedge z=-1+2t}\)
Krawędziowa wymaga dobrania sobie dwóch płaszczyz zawierających Twoją postą . Potrafisz to zrobić?

[jutrvy]

No dooobra... to wykasuj z mojego postu to równanie i będzie cacy... zmęczony jestem, a krzysiokal, i tak w swoim poście napisał dobre równanie, więc można założyć, że je zna. Generalnie idea jest taka, jak powiedziałem...

[krzysiokal]

Stąd postać kierunkowa:
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{3} = \frac{y+3}{0}= \frac{z+1}{2}}\)
parametryczna:
\(\displaystyle{ x=2+3t \wedge y=-3 \wedge z=-1+2t}\)

To jest moje rozwiązanie ??
Nie potrafię zrobić krawędziowej. Jakbyś mógł po kolei to rozpisać. Bardzo dziękuję.

[kerajs]

To jest moje rozwiązanie ??.

Nie , to moje rozwiazanie
Ty mapisałeś równwnie parametryczne prostej równoległej do szukanej zaczepionej w punkcie (0,-2,3).
Aby uzyskać szukaną prostą, do równania parametrycznego podstaw współrzędne punktu P.

Postać krawędziewa to dwie nierównoległe płaszczyzny których część wspólna jast zadaną prostą.
Wybiereasz dowolny punkt (np: Q) który nie leży na prostej . Liczysz wektor PQ. Z iloczynu wektorowego wektora kierunkowego prostej i wektora PQ znajdujesz wektor normalny płaszczyzny. A z tego możesz już napisać jej równanie. Tak samo wyliczasz równanie drugiej płaszczyzny. Układ równań tych płaszczyzn to równanie krawędziowe prostej.

[krzysiokal]

Więc tak (jak źle to poprawiaj)
pkt \(\displaystyle{ Q=(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ \vec{PQ}=(1-2,1+3,1+1)=(-1,4,2)}\)
\(\displaystyle{ \vec{n} * \vec{PQ}=(3,0,2)*(-1,4,2)=(-3,0,4)}\)
stąd
\(\displaystyle{ x=-1-3t}\)
\(\displaystyle{ y=4}\)
\(\displaystyle{ z=2+4t}\)

i coś jeszcze trzeba ?

[kerajs]

Tu poprawne jest wybranie punktu Q i wyliczenie współrzędnych wektora PQ.

Wektor normalny płaszczyzny to iloczyn wektorowy który liczy się tak:
\(\displaystyle{ \vec{n} =\vec{k _{p} } \times \vec{PQ} =\left[ 3,0,2\right] \times \left[ -1,4,2\right] =
\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\3&0&2\\-1&4&2\end{array}\right|=\\=
\vec{i}\left|\begin{array}{cc}0&2\\4&2\end{array}\right| - \vec{j}\left|\begin{array}{cc}3&2\\-1&2\end{array}\right| + \vec{k}\left|\begin{array}{cc}3&0\\-1&4\end{array}\right|=\left[ -8,-8,12\right]}\)
Dzięki temu równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora normalnego i zawierajacej punkt Q ma postać:
\(\displaystyle{ -8(x-1)-8(y-1)+12(z-1)=0}\)
Analogicznie wyznacz druga płaszczyznę.

Ps. Poczytaj w Wikipedii o równaniach płaszczyzny i prostej w przestrzeni lub tu, na forum przeglądnij rozwiązane zadania.