oblicz wysokość trójkąta o wierzchołkach

[krzysiokal]

Mam zadanie obl. wys. trójkąta o wierzchołkach \(\displaystyle{ A=(1,1,-3)}\) \(\displaystyle{ B=(2,0,-3)}\) \(\displaystyle{ C=(1,4,2)}\) mierząc z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\)
I tak zrobiłem takie obliczenia:
\(\displaystyle{ \vec{AC}}\)\(\displaystyle{ =(1-1,4-1,2+3)=(0,3,5)}\)

\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ y=1+3t}\)
\(\displaystyle{ z=-3+5t}\)
\(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\)

więc płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ D+3y+5z=0}\)
przez pkt \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ D=15}\)
stąd: \(\displaystyle{ 15+3y+5z=0}\)

Czy ja to dobrze rozwiązałem czy jest to źle ?
Uczę się do kolokwium i chce je dobrze zaliczyć.

[kerajs]

Czy ja to dobrze rozwiązałem czy jest to źle ?

Na razie jest OK

\(\displaystyle{ x=1}\)
\(\displaystyle{ y=1+3t}\)
\(\displaystyle{ z=-3+5t}\)
\(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\)

Tu znalazłeś prostą która przechodzi przez punkty A i C.

stąd: \(\displaystyle{ 15+3y+5z=0}\)

Tu równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej AC zawierajżcej punjt B.

Teraz trzeba znależć punkt wspólny prostej i płaszczyzny który jest rzutem prostopadłym punktu B na prostą AC vzyli drugi koniec szukanej wysokośći. Jak go znajdziesz (z układu równań prosta i płaszczyzna) to wysokość obliczysz z odległośći między B a znalezionym punktem przebicia.

Ps. Fajny pomysł. Oczywiście można znależć wysokość także innymi sposobami. Najszybszym chyba jest wyliczenia pola trójkąta z iloczynu mieszannego i porównanie go ze wzorem na pole zawierającym szukaną wysokość i długość |AC.|

[krzysiokal]

Jak mam znaleźć ten pkt wspólny co do czego podstawić ? Mam obliczyć \(\displaystyle{ t}\) ?
Możesz zapisać to wg najszybszej metody jak to by było ?

[kerajs]

Tworzysz układ równań z prostą i płaszczyzną
\(\displaystyle{ x=1 \wedge y=1+3t \wedge z=-3+5t \wedge
15+3y+5z=0}\)

\(\displaystyle{ 15+3(1+3t)+5(-3+5t)=0\\
34t=-3 \Rightarrow t= \frac{3}{34}}\)
wracająć z ,,t' do ukladu dostajesz współrzędne punktu przebicia.
Teraz jego odległóść od B to szukana wysokość.

[krzysiokal]

Jak możesz to sprawdź tylko.
\(\displaystyle{ X=(1,1 \frac{9}{34} ,-3+ \frac{15}{34} )=(1, \frac{43}{34} ,- \frac{87}{34} )}\)
\(\displaystyle{ \vec{BX} =(1-2, \frac{43}{34} ,- \frac{87}{34} +3)=(-1, \frac{43}{34} , \frac{15}{34} )}\)
stąd długość wynosi:
\(\displaystyle{ \left| \vec{BX} \right|= \sqrt{(-1) ^{2}+ (\frac{43}{34})^{2}+(\frac{15}{34})^{2}}=1,6715644}\)

[kerajs]

Byłoby dobrze dla t które Ci podałem. Jednak w ostatniej linijce zgubiłem minus, co sprawia że wyniki nie są poprawne ( ale metoda dobra ).
Jeśli masz czas i ochotę to oblicz to jeszcze raz i porównaj wynik z wartością otrzymaną wg wskazówki :

Najszybszym chyba jest wyliczenia pola trójkąta z iloczynu mieszannego i porównanie go ze wzorem na pole zawierającym szukaną wysokość i długość |AC.|