Wektory - iloczyn skalarny i te sprawy

[MasterOfPuppets]

Witam!

Jestem tu nowy. ^^ Na wstępie chcę podziękować za to, że wielokrotnie mogłem skorzystać z forum, gdy miałem problemy z zadankami. Niestety, nadszedł dzień, a z dniem zadanko, którego rozwiązać nie umiem, a u Was też go nie widzę.
Mam nadzieję, że mi pomożecie, za co z góry dziękuję.

Otósh...
\(\displaystyle{ \left| \vec{u}\right|=?}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{p}\right|=2}\)
\(\displaystyle{ \left| \vec{q}\right|=5}\)
\(\displaystyle{ \vec{u}=5\vec{p}-4\vec{q }}\)
kąt między wektorami q i p wynosi 120'

Ma ktoś pomysł jak policzyć długość u?

edit
Kombinowałem podnosząc do kwadratu, ale nie jestem pewien co zrobić z takim iloczynem wektorowym \(\displaystyle{ (5p-4q) \circ (5p-4q)}\)...

[Kacperdev]

Nie tracąc na ogólności wektory \(\displaystyle{ \vec{p}, \vec{q}}\) mógłbyś umieścić na kartezjańskim układzie współrządnych, zaczepiając je na początek układu. Tzn. \(\displaystyle{ \vec{p} = \left[ 2,0\right]}\) łatwo wyliczyć przykładowe \(\displaystyle{ \vec{q}}\) a dalej to już rachunki.

Lub bardziej eleganco jak ty zacząłeś. Skorzystaj z rozdzielności iloczynu skalarnego.

[MasterOfPuppets]

Dziękuję za szybką odpowiedź.

Układ współrzędnych jest dobry, ale ja wolę ten poziom abstrakcji. Gdyby długości równały się 3894849 i 4902940 to ciężko by było w układzie xD

W między czasie udało mi się zrobić ten iloczyn. Zapiszę, bo ktoś może kiedyś tego szukać...

pomijam strzałki wektorów
zapis |u| oznacza długość wektora u

u=5p-4q

\(\displaystyle{ u○u=|u| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ (5p-4q) ^{2} = 25p ^{2} - 40pq +16q ^{2}}\)

Kąt między p i p, oraz q i q wynosi 0. Cosinus 0 = 1
cos 120 = -1/2

\(\displaystyle{ 25 \cdot |p| \cdot |p| + -40 \cdot |p| \cdot |q| \cdot \frac{-1}{2}+ 16 \cdot |q| \cdot |q|}\)
\(\displaystyle{ 25 \cdot 2 \cdot 2+ -40 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \frac{-1}{2} + 16 \cdot 5 \cdot 5 = 700}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{700}=10 \sqrt{7}}\)

i tyle właśnie wynosi długość u. chyba że mam błędy

Pozdrawiam i życzę dobrej nocy