Czy podane równanie jest równaniem okręgu?

Bolekpolek · Post autor: **Bolekpolek** » 26 lis 2014, o 17:27

Witam. Proszę Was o pomoc. Mam problem i nie wiem jak zabrać się za polecenie "Sprawdź, czy podane równanie jest równaniem okręgu." Proszę Was o bardzo szczegółowe wytłumaczenie co i jak mam zrobić bo patrząc na rozwiązane już zadanie nie jestem w stanie sam dojść jak zostało ono zrobione.

Przykład:

$\displaystyle{ x^2 + y^2 - 2x + 4x + 1 = 0}$

a4karo · Post autor: **a4karo** » 26 lis 2014, o 17:48

Rozumiem,że zamiast $\displaystyle{ 4x}$ miało być $\displaystyle{ 4y}$ ?
Nieważne

Czego brakuje w wyrażeniu $\displaystyle{ x^2-2x}$ aby był pełny kwadrat? To samo pytanie dla $\displaystyle{ y^2+4y}$.

Bolekpolek · Post autor: **Bolekpolek** » 26 lis 2014, o 17:59

Nie mam pojęcia. Wiem, że trzeba zastosować wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy. Znam go i zapisane mam, że dla pierwszego będzie 1, a dla drugiego 4. Tylko skąd to się wzięło?

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 26 lis 2014, o 18:49

(1) $\displaystyle{ x^2+y^2-2x+4x+1=0}$

W tym równaniu masz $\displaystyle{ x^2-2x}$. Żeby z tego powstał kwadrat jakiejś sumy/różnicy, musiałoby być $\displaystyle{ x^2-2x+1=(x-1)^2}$.
Podobnie z $\displaystyle{ y^2+4y}$. Żeby był kwadrat sumy/różnicy, powinno być $\displaystyle{ y^2+4y+4=(y+2)^2}$.

Można zapisać, że:
(2) $\displaystyle{ (x-1)^2+(y+2)^2=x^2-2x+y^2+4y+1+4=x^2-2x+y^2+4y+5}$.

Widać, że $\displaystyle{ (2)=(1)+4}$.
W takim razie $\displaystyle{ (1)=(x-1)^2+(y+2)^2-4=0}$.
Masz więc równanie okręgu o środku $\displaystyle{ (1,-2)}$ i promieniu $\displaystyle{ 2}$.

Bolekpolek · Post autor: **Bolekpolek** » 26 lis 2014, o 19:14

Zrobiłem sobie jeden przykład. Możesz sprawdzić czy wszystko jest dobrze?

$\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+2x+6y+12=0}$

$\displaystyle{ x^{2}+2x+1=(x-1) ^{2}}$
$\displaystyle{ y ^{2}+6y+9=(y-3) ^{2}}$

$\displaystyle{ (x-1) ^{2}+(y-3) ^{2}=x ^{2}+2x+y ^{2}+6y+1+9=x ^{2}+2x+y ^{2}+6y+10}$

$\displaystyle{ (x-1) ^{2}+(y+2) ^{2}-2=0}$

$\displaystyle{ S=(1,-2)}$
$\displaystyle{ r=3}$

a4karo · Post autor: **a4karo** » 26 lis 2014, o 19:26

Nie. za czesto mylisz znaki. Policz jeszcze raz

Bolekpolek · Post autor: **Bolekpolek** » 26 lis 2014, o 19:35

$\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+2x+6y+12=0}$

$\displaystyle{ x^{2}+2x+1=(x+1) ^{2}}$
$\displaystyle{ y ^{2}+6y+9=(y+3) ^{2}}$

$\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y+3) ^{2}=x ^{2}+2x+y ^{2}+6y+1+9=x ^{2}+2x+y ^{2}+6y+10}$

$\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y+3) ^{2}-2=0}$

$\displaystyle{ S=(-1,-3)}$
$\displaystyle{ r=0?}$

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 26 lis 2014, o 19:46

$\displaystyle{ x^2+y^2+2x+6y+\fbox{$12$}=x^2+y^2+2x+6y+\fbox{$1+9+2$}= \\ =\left( x^2+2x+\fbox{$1$}\right) +\left( y^2+6y+\fbox{$9$}\right) +\fbox{$2$}=0}$

Zostanie wtedy $\displaystyle{ (x+1)^2+(y+3)^2=-2}$, więc nie może to być równanie okręgu. Gdyby było $\displaystyle{ 2}$ zamiast $\displaystyle{ -2}$, to byłby okrąg o promieniu $\displaystyle{ \sqrt2}$.

Bolekpolek · Post autor: **Bolekpolek** » 26 lis 2014, o 20:14

Czyli w takiej sytuacji zatrzymuję się na:

$\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y+3) ^{2}-2=0}$
I piszę, że podane równanie nie jest równaniem okręgu?
Dlaczego? Skoro $\displaystyle{ -4}$ mogę zrobić, a $\displaystyle{ -2}$ nie?

$\displaystyle{ (1)=(x-1)^2+(y+2)^2\fbox{$-4$}=0}$
Ta $\displaystyle{ 4}$ jak i każda inna liczba w tym miejscu musi zostać podzielona przez $\displaystyle{ 2}$ i wtedy otrzymujemy promień $\displaystyle{ 2}$?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 26 lis 2014, o 20:20

Oba równania są równaniami okręgów. A jak liczymy promień, to bynajmniej nie dzielimy przez 2 tylko pierwiastkujemy!

a4karo · Post autor: **a4karo** » 26 lis 2014, o 20:24

Ależ kręcisz: to równanie $\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y+3) ^{2}-2=0}$ akurat jest równaniem okręgu.

Możęsz je zapisać tak: $\displaystyle{ (x+1) ^{2}+(y+3) ^{2}=2}$.
Porównaj to z równaniem okręgu
$\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$

Ta 4 jak i każda inna liczba w tym miejscu musi zostać podzielona przez 2 i wtedy otrzymujemy promień 2?

A skąd dzielenie przez 2? Porównaj te równania powyżej: w jednym po prawej jest 2, w drugim $\displaystyle{ r^2}$ więc jaki jest promień?

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 26 lis 2014, o 20:27

$\displaystyle{ (x+1)^2+(y+3)^2\red{-2}\black=0}$ - jest równaniem okręgu
$\displaystyle{ (x+1)^2+(y+3)^2\red{+2}\black=0}$ - nie jest równaniem okręgu

Jeżeli przykład wyglądał tak: $\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+2x+6y+12=0}$, to z tego wychodzi $\displaystyle{ (x+1)^2+(y+3)^2+2=0}$.

Bolekpolek · Post autor: **Bolekpolek** » 26 lis 2014, o 20:30

a4karo pisze:
A skąd dzielenie przez 2? Porównaj te równania powyżej: w jednym po prawej jest 2, w drugim $\displaystyle{ r^2}$ więc jaki jest promień?

$\displaystyle{ \sqrt{2}}$

Już doszedłem do tego jak to mam rozwiązać. Gorzej jest z tym przykładem:

$\displaystyle{ x ^{2}+y^{2}+3y+2=0}$

$\displaystyle{ x ^{2} + x + 1 = (x+1) ^{2}}$
$\displaystyle{ y ^{2} +3y+ \frac{1}{4} = (y+ \frac{1}{2}) ^{2}}$

$\displaystyle{ x ^{2}+y^{2}+3y+2= x ^{2}+y ^{2}+3y+1+ \frac{1}{4}+ \frac{2}{4}}$

$\displaystyle{ (x+1) ^{2} + (y+ \frac{1}{4}) ^{2}+ \frac{3}{4}=0}$
$\displaystyle{ (x+1) ^{2} + (y+ \frac{1}{4}) ^{2}=- \frac{3}{4}}$