styczna do okręgu
-
matematyczka1
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 lis 2014, o 09:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 3 razy
styczna do okręgu
Dany jest okrąg styczny do prostej x-y+1=0 i przechodzący przez punkt A(-3,2). Wyznacz współrzędne środka okręgu, jeśli leży on na prostej 4x+y=0.
-
matematyczka1
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 lis 2014, o 09:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 3 razy
styczna do okręgu
Aaa spoko. No to będzie tak (napiszę Ci, co trzeba policzyć, ale policz już sama, dobrze?):
wprowadźmy sobie najpierw równanie naszego okręgu: \(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2}\).
Wiemy, że punkt \(\displaystyle{ A=(-3,2)}\) leży na naszym okręgu, więc możemy go wstawić w równanie okręgu. Dostaniemy:
\(\displaystyle{ (-3-a)^2 + (2-b)^2 = r^2}\), ale dalej coś dużo niewiadomych.
Ponieważ środek leży na prostej \(\displaystyle{ y = -4x}\), to mamy, że \(\displaystyle{ b = -4a}\).
Wstawmy to do naszego równania:
\(\displaystyle{ (-3-a)^2 + (2 + 4a)^2 = r^2}\).
Mamy równanie z dwoma niewiadomymi. Teraz jeszcze trzeba napisać jedno równanie korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej. Mianowicie należy zauważy, że skoro nasz okrąg jest styczny do prostej \(\displaystyle{ x - y+1 = 0}\), to odległość punktu \(\displaystyle{ (a, -4a)}\) - czyli środka okręgu, od tej prostej, wynosi \(\displaystyle{ r}\).
Mamy zatem dwa równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(-3-a)^2 + (2 + 4a)^2 = r^2 }\\ \frac{|1\cdot a + (-1)\cdot(-4a) + 1|}{\sqrt{2}} = r \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań.
Pozdrawiam serdecznie
wprowadźmy sobie najpierw równanie naszego okręgu: \(\displaystyle{ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2}\).
Wiemy, że punkt \(\displaystyle{ A=(-3,2)}\) leży na naszym okręgu, więc możemy go wstawić w równanie okręgu. Dostaniemy:
\(\displaystyle{ (-3-a)^2 + (2-b)^2 = r^2}\), ale dalej coś dużo niewiadomych.
Ponieważ środek leży na prostej \(\displaystyle{ y = -4x}\), to mamy, że \(\displaystyle{ b = -4a}\).
Wstawmy to do naszego równania:
\(\displaystyle{ (-3-a)^2 + (2 + 4a)^2 = r^2}\).
Mamy równanie z dwoma niewiadomymi. Teraz jeszcze trzeba napisać jedno równanie korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej. Mianowicie należy zauważy, że skoro nasz okrąg jest styczny do prostej \(\displaystyle{ x - y+1 = 0}\), to odległość punktu \(\displaystyle{ (a, -4a)}\) - czyli środka okręgu, od tej prostej, wynosi \(\displaystyle{ r}\).
Mamy zatem dwa równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(-3-a)^2 + (2 + 4a)^2 = r^2 }\\ \frac{|1\cdot a + (-1)\cdot(-4a) + 1|}{\sqrt{2}} = r \end{cases}}\)
Rozwiąż ten układ równań.
Pozdrawiam serdecznie