Wyznaczenie współrzędnych - trójkąt prostokątny

[olgaskie]

Witam!
Męczę się nad tym zadaniem już dłuższy czas. Próbowałam do niego podchodzić z różnych stron, ale nie mogę dojść do dobrego rozwiązania. Proszę o pomoc albo chociaż nakierowanie na to jakie kroki wykonać.

TREŚĆ:
W trójkącie prostokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) (\(\displaystyle{ \left| \angle ABC \right|=90 ^{o}}\)) dwa wierzchołki mają współrzędne \(\displaystyle{ A(4, -2)}\) i \(\displaystyle{ C(0,8)}\). Wyznacz współrzędne wierzchołka \(\displaystyle{ B}\), wiedząc, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest równe \(\displaystyle{ 20}\).


Z góry dziękuję za pomoc!

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ B=(x,y)}\).

\(\displaystyle{ \vec{AB}\perp\vec{CB}\iff \vec{AB}\circ\vec{CB}=0\iff x(x-4)+(y+2)(y-8)=0}\)

\(\displaystyle{ 20=P_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\det(\vec{AB},\vec{CB})\right|=\left|(x-4)(y-8)-x(y+2)\right|}\)

[olgaskie]

Dzięki wielkie! A czy dałoby się to rozwiązać bez iloczynu skalarnego?

[Majeskas]

Warto użyć powyższego wzoru na pole trójkąta. To nam daje jedno równanie na współrzędne. Drugie możemy otrzymać, wyznaczając równania prostych i korzystając z warunku na ich prostopadłość. A jeśli analitycznego wzoru na pole chcemy koniecznie uniknąć, klasycznie też można to przecież zrobić.

[ikami]

A układ równań tutaj nie zadziała?

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2} + c^{2} = 116 \\ a \cdot c = 40 \end{cases}}\)