Styczna do paraboli

[macikiw2]

Wykaż że styczna do paraboli o równaniu
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2} x^{2} -3x-2}\)
poprowadzona w punkcie \(\displaystyle{ P}\) o odciętej \(\displaystyle{ 2}\) , ogranicza wraz z osiami układu współrzędnych trójkąt o polu równym \(\displaystyle{ 8}\)

Ma ktoś pomysł jak to zrobić ?

[PeeeR]

Współczynnik kierunkowy tej prostej (stycznej) w danym punkcie wyznacza jej pochodna. Drugą współrzędną punktu obliczysz z równania paraboli. Pełne równanie liniowe uzyskasz po skorzystaniu z tego, że prosta przechodzi przez zadany punkt (równanie jednej zmiennej, kiedy masz już współczynnik kierunkowy). Potem oblicz punkty przecięcia się prostej z wykresem (podstawiając za x, a następnie za y zera). Iloczyn długości odcinków środek- punkt przecięcia podzielony przez 2 daje nam pole trójkąta

[macikiw2]

\(\displaystyle{ P(2,-6)}\)

Pochodna paraboli :

\(\displaystyle{ y=x-3}\)

Styczna : \(\displaystyle{ y=x+b}\) \(\displaystyle{ -6=2+b}\) \(\displaystyle{ b=-8}\)

\(\displaystyle{ y=x-8}\)

Nie wychodzi pole \(\displaystyle{ 8}\) w takim układzie.

[musialmi]

Skąd wiesz, że współczynnik kierunkowy jest 1? W ogóle to twoje rozwiązanie jest bardzo dziwne.

[macikiw2]

Bo właściwie to nie wiem jak mam wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez jeden punkt , moge wyznaczyć pęk prostych. Współczynnik z czego mam wyznaczyć , jak nie mam żadnej prostopadłej równoległej innej prostej do niej ? No to sobie pomyślałem , że może ten współczynnik otrzymam z pochodnej tej paraboli. Ale to takie strzelanie na ślepo...

[musialmi]

To napisał PeeeR:

Współczynnik kierunkowy tej prostej (stycznej) w danym punkcie wyznacza jej pochodna.

Dlaczego zamiast dopytać, lub doczytać, wolałeś strzelać - nie wiem.
PeeeR miał na myśli to, że jeśli pochodną naszej funkcji oznaczymy przez \(\displaystyle{ f'(x)}\), to współczynnik kierunkowy prostej stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest równy \(\displaystyle{ f'(x_0)}\). Bardzo proste Jakie jest nasze \(\displaystyle{ x_0}\) to chyba wiadomo. To pęk prostych się zmniejsza. Umiesz wyliczyć drugi współczynnik w równaniu kierunkowym prostej?

[macikiw2]

Dobra wyszło .

Mam jeszcze jedno zadanie :
Oblicz pole trójkąta ograniczonego dodatnimi półosiami układu współrzędnych i tą styczną do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x-1}{x-3}}\) , która jest prostopadła do prostej o równaniu \(\displaystyle{ 2x-y-3=0}\)

No to policzę współczynnik prostej prostopadłej bez problemu
\(\displaystyle{ y=-1/2x + b}\)
z jakiej zasady wyłuskać nasze \(\displaystyle{ b}\) ?


Już wiem-- 16 lis 2014, o 18:04 --Właściwie to mam problem. Wyliczyłem pochodną :

\(\displaystyle{ \frac{-2}{\left( x _{o}-3 \right) ^{2} }}\)

Przyrównałem do współczynnika i wyszło
\(\displaystyle{ x _{0} =1}\)
\(\displaystyle{ x _{0} =5}\)

policzyłem \(\displaystyle{ f(x _{0})}\)

Wyszło w każdym przypadku \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\) .

Co już daje mi złe \(\displaystyle{ b}\) - bo mają być 2 rozwiązania....
Gdzie błąd ?