trójkąty na oś współrzędnych

[adinho58]

Witam ponownie.
Kolejne zadanie kolejny problem.

Dana jest prosta \(\displaystyle{ k:y=-x+6}\), która przcina oś \(\displaystyle{ OY}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\). Przez punkt \(\displaystyle{ P(4;2)}\) poprowadzoną prostą \(\displaystyle{ l}\), która przecięła oś \(\displaystyle{ OY}\) powyżej punktu \(\displaystyle{ (0;2)}\) i poniżej punktu \(\displaystyle{ A}\). Suma pól dwóch trójkątów powstałych miedzy prostymi \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) oraz osiami układu współrzędnych jest równa \(\displaystyle{ 6}\). Napisz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\).

Wiem, że punkt\(\displaystyle{ A}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ (0;6)}\)

Byłbym wdzięczny za jakiś rysunek wtedy tez bym wiedział o jakie trójkąty chodzi. ;/

[kropka+]

Jak zrobisz to, co każą, to powstaną tylko dwa trójkąty, więc trudno mieć wątpliwości, o jakie trójkąty chodzi.
Narysuj prostą \(\displaystyle{ k}\). Ona przecina osie OY i OX w punktach \(\displaystyle{ A(0,6)}\) i \(\displaystyle{ B(x _{b},0)}\) - policz tą współrzędną.
Punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do prostej \(\displaystyle{ k}\) - dlaczego? - zaznacz go. Zaznacz sobie na osi OY punkt \(\displaystyle{ C(0,y):2<y<6}\). Narysuj prostą \(\displaystyle{ l}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ PC}\). Ona przecina oś OX w punkcie \(\displaystyle{ D(0,x)}\).
Chodzi o trójkąty \(\displaystyle{ ACP}\) i \(\displaystyle{ BPD}\). Wyznacz równanie prostej \(\displaystyle{ l}\).

[adinho58]

\(\displaystyle{ B(6;0)}\)
Chodzi o to, że jak mam je policzyć ?
No już widzę te trójkąty, ale jak mam policzyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ D}\) ? Jestem wstanie policzyć długośc odcinka \(\displaystyle{ AP}\) ale jak wyznaczyć współrzędne pkt \(\displaystyle{ c}\) ?
jeżeli podstawie do wzoru an odległość punktu od prostej to mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{\left| -y +6\right| }{2}}\)

[kropka+]

Przedstaw sumę pól tych trójkątów jako jedno równanie z niewiadomymi \(\displaystyle{ x,y}\). Potem wyznaczasz z tego \(\displaystyle{ y}\) i to jest szukane równanie prostej \(\displaystyle{ l}\)

[adinho58]

Niestety nie wiem jak ;/

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y *... ?}\)

[kropka+]

Jaki jest wzór na pole trójkąta?

[adinho58]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a * h}\)
A suma dwóch trójkatów to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} a * h + \frac{1}{2} a_{2}*h_{2}}\)-- 12 lis 2014, o 16:29 --Miałem taką koncepcje, że policzyłem długosć odcinka \(\displaystyle{ AP=4 \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ PB=4 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ B}\) to miejsce zerowe prostej \(\displaystyle{ y=-x+6}\)
czyli to są boki tych trójkątów
\(\displaystyle{ C}\) to jest miejsce gdzie przecina sie prosta \(\displaystyle{ l}\) z osią \(\displaystyle{ OY}\)
\(\displaystyle{ c( 0; y_{0} )}\) no to obliczam to ze wzoru na odległość punktu od prostej
otrzymuje \(\displaystyle{ \frac{\left| -y +6\right| }{ \sqrt{2} }}\)
I wiem, ze współrzędna \(\displaystyle{ y}\) spełnia podwójną nierówność \(\displaystyle{ 2<y<6}\)
otrzymuje, że \(\displaystyle{ y<-2 \sqrt{2} +6 \vee y>2 \sqrt{2} +6}\) oraz \(\displaystyle{ y>-6 \sqrt{2} +6 \vee y<6 \sqrt{2}+6}\)

Ale co dalej ?

mam obliczyć odległość punktu od osi \(\displaystyle{ OX}\), żeby wyznaczyć wysokość drugiego trójkąta ?

[Ania221]

Wsp. kierunkowy prostej DP wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{2-x}}\)

Wsp. kierunkowy prostej PC wynosi \(\displaystyle{ \frac{4-y}{2}}\)

To jest ta sama prosta, więc te wsp są sobie równe.
Wyznacz z tego np \(\displaystyle{ x}\)

Suma pól trójkątów
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}2(x-6)+ \frac{1}{2}4(6-y)=6}\)

Masz układ 2 równań z 2 niewiadomymi.
Edit, to miała być suma pól, one nie są równe, przepraszam za literówkę.

[adinho58]

Jak obliczyłaś te współczynniki kierunkowe ?

i tą sumę pól trójkątów ?

[Ania221]

Punkt \(\displaystyle{ K(0;2)}\)

Punkt \(\displaystyle{ M(4;0)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left|DK \right| }{\left| KP\right| } = \frac{\left|PM \right| }{\left| MC\right| }}\)

\(\displaystyle{ \frac{y-2}{4} = \frac{2}{x-6}}\)

Pola trójkątów, górny ma wysokość \(\displaystyle{ KP=4}\), podstawę \(\displaystyle{ 6-y}\)

dolny wysokość \(\displaystyle{ PM=2}\) podstawa \(\displaystyle{ x-6}\)

[adinho58]

Nie wiem czy mój sposób jest dobry, ale...
Mam punkt \(\displaystyle{ D(0;y)}\) oraz \(\displaystyle{ C(x;0)}\)

układam układ równań :
\(\displaystyle{ y=b}\)

\(\displaystyle{ 0=ax+b}\) gdzie do jednego równania podstawiam współrzędne pkt C i D

Pod x i y podstawiam współrzędne pkt P(4,2)
i wychodzi \(\displaystyle{ a=- \frac{1}{2}}\) i dla tego \(\displaystyle{ A}\) wychodzi \(\displaystyle{ B}\) równe \(\displaystyle{ 4}\)

[Ania221]

wynik jest dobry
Tylko nie bardzo wiem, co masz na myśli. Prosta \(\displaystyle{ CD}\) ma równanie \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2} x+4}\)

[kropka+]

Prosta AC ma równanie

Prosta CD

[adinho58]

Równanie kierunkowe ma postać : \(\displaystyle{ y=ax+b}\)
Mam współrzędne \(\displaystyle{ D(0;y)}\) oraz \(\displaystyle{ C(x;0)}\), które lezą na tej prostej
Czyli podstawiam je do tej postaci kierunkowej i buduje układ.
\(\displaystyle{ y=b}\) <- tutaj podstawiłem współrzędne pkt. D

\(\displaystyle{ 0=ax+b}\) < - tutaj punktu C

Wiem również, ze pkt P (4;2) również się w nim zawiera, więc podstawiam współrzędne. \(\displaystyle{ 4}\) pod \(\displaystyle{ y}\) w pierwszym równaniu a \(\displaystyle{ 2}\) pod \(\displaystyle{ x}\) w drugim równaniu.

[Ania221]

kropka+, dzięki, juz poprawiłam.


adinho58....nie możesz od razu wyznaczać wsp prostej \(\displaystyle{ CD}\), bo do niej musi należeć punkt \(\displaystyle{ P}\), czyli musi to być prosta przechodząca przez punkt\(\displaystyle{ P}\)......musisz wyznaczyć wsp kierunkowy prostej \(\displaystyle{ DP}\)
Potem wsp kier prostej \(\displaystyle{ PC}\)
Ponieważ to jest ta sama prosta, to te wsp są sobie równe.
Z tego masz pierwsze równanie.
Drugie równanie z sumy pół trójkątów, to już pokazałam.