Problem z końcówką zadania o środkach ciężkości trójkątów.

[KotwButach]

Dzień dobry. Mam problem z końcówką zadania.

Z wierzchołka O paraboli \(\displaystyle{ y ^{2} =2x}\) poprowadzono dwie proste wzajemnie prostopadłe i przecinające parabolę w punktach P i Q. Wyznacz zbiór punktów płaszczyzny utworzony przez środki ciężkości trójkątów OPQ. Sporządź rysunek.

Wybrałem sobie dowolny punkt P(\(\displaystyle{ p,\sqrt{2p}}\)) i w zależności od P obliczyłem po kolei:

-prostą OP
-punkt Q jako przecięcie paraboli i prostej prostopadłej do OP przechodzącej przez (0,0)
-środek S\(\displaystyle{ _{1}}\) odcinka PQ
-prostą S\(\displaystyle{ _{1}}\)O
-środek odcinka OP
-prostą QS\(\displaystyle{ _{2}}\)
-punkt przecięcia środkowych QS\(\displaystyle{ _{2}}\) i S\(\displaystyle{ _{1}}\)O

wychodzi mi
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{p ^{2}+4 }{3p} \\ y= \frac{ \sqrt{2p}(p-2)}{3p} \end{cases}}\)

To chyba dobre odpowiedzi, bo sprawdziłem na kilku przykładowych p. Ale chyba nie może w odpowiedzi być tego p, skoro nie było o nim mowy w treści zadania. Czy muszę wyznaczać p w obu równać (za pomocą delty), przyrównać i określić y w zależności do x?

[sebnorth]

liczyłeś z \(\displaystyle{ P(p,\sqrt{2p})}\) czy z \(\displaystyle{ P(p,\sqrt{2x})}\)?

[KotwButach]

Oczywiście błąd, z \(\displaystyle{ P (p,\sqrt{2p})}\)-- 11 lis 2014, o 21:57 --Wie ktoś, czy moja odpowiedź jest kompletna, czy trzeba jeszcze iść dalej? Bardzo proszę o pomoc.