Post wydzielony: wykres funkcji dwóch zmiennych.

[matematyka464]

Dzięki
Teraz do pytania posłużę się przykładem:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{ 1}{1+x^2 + y^2}}\)
1. Wykresem tej funkcji jest powierzchnia obrotowa. Skąd to wiadomo? Po czym to widać?
2. Jeżeli ustawimy y na 0 to jasnym jest, że otrzymamy "płask" wykres. Obracając go względem osi Oz otrzymujemy wykres właściwy.
Chciałbym, żeby ktoś mnie przekonał, że w istocie obracanie tego wykresu da właśnie tamten wykres.

[szw1710]

Promień wodzący punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) płaszczyzny ma długość \(\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2}}\). W układzie \(\displaystyle{ (r,z)}\) mamy wzór \(\displaystyle{ \frac{1}{1+r^2}.}\) Ale mamy na płaszczyźnie \(\displaystyle{ xy}\) nieskończenie wiele kierunków i tego rodzaju wykres można narysować w każdym kierunku, czyli w nieskończenie wielu układach związanych z osią odciętych idącą w dowolnym kierunku płaszczyzny \(\displaystyle{ xy}\). Tak więc wystarczy linię \(\displaystyle{ z=\frac{1}{1+r^2}}\) obrócić dookoła osi \(\displaystyle{ z}\). Tak widzę wyjaśnienie obrotowości Twojej powierzchni.

[matematyka464]

ok, a teraz mamy funkcję:
\(\displaystyle{ f(x,y) =- \sqrt(y^2 - 9 )}\)
Możemy przecież na to popatrzeć tak:
\(\displaystyle{ h(x) =- \sqrt(x^2 - 9 )}\)
No to powinna to być zwykła funkcja taka jak parabola czy też inna "płaska". A tutaj coś takiego:

AU

jiKVxCS.png (44.44 KiB) Przejrzano 51 razy

Jak to możliwe?
Przecież w wyjściowej funkcji x się nie zmienia, a z wykresu wyraźnie widać, że się jednak zmienia

[szw1710]

Ta funkcja nie zależy od \(\displaystyle{ x}\), tak więc wykres w każdej płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny \(\displaystyle{ yz}\) jest taki sam.