Witam,
niedawno spotkałem się z pewnym problemem z zagadnienia geometrii analitycznej:
Zdefiniujmy zmienne \(\displaystyle{ a, b ,c \in \mathbb{R}^{+}}\), płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A=(a,b,0)}\), oraz prostą \(\displaystyle{ k}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). Wektory równoległe płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) wyrażone są jako:
\(\displaystyle{ \overrightarrow{v_{1}}=[-a,0,c]
\\
\overrightarrow{v_{2}}=[0,-b,c]}\)
Wyznacz punkt przecięcia płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) z prostą \(\displaystyle{ k}\).
Podszedłem do tego zadania wyznaczając najpierw równanie parametryczne płaszczyzny na podstawie dwóch podanych wektorów i punktu do niej należącego:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t,s)=a(1-t)
\\ y(t,s)=b(1-s)
\\ z(t,s)=c(t+s)
\end{matrix}\right.}\)
Następnie równanie parametryczne prostej:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t)=at
\\ y(t)=bt
\\ z(t)=ct
\end{matrix}\right.}\)
I tutaj chciałem przyrównać strony układów równań, ale niestety pojawia się problem:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}at=a(1-t)
\\ bt=b(1-s)
\\ ct=c(t+s)
\end{matrix}\right.}\)
Z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\), z drugiego, że \(\displaystyle{ s=1-t=\frac{1}{2}}\), a z trzeciego, iż \(\displaystyle{ s=0}\). Jest tu widoczna sprzeczność i wydaje mi się, że jest to spowodowane tym, że z jakiegoś powodu nie mogę przyrównać wartości funkcji dwóch zmiennych do wartości funkcji jednej zmiennej, ale szczerze mówiąc trochę się pogubiłem w tym problemie i nie wiem w końcu jak go teraz już rozwiązać.
Z góry dziękuję za pomoc
Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej
Równanie parametryczne płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t,s)=a(-t)
\\ y(t,s)=b(-s)
\\ z(t,s)=c(t+s)
\end{matrix}\right.}\)
Równanie parametryczne prostej:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(p)=ap
\\ y(p)=bp
\\ z(p)=cp
\end{matrix}\right.}\)
Teraz je porównaj.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t,s)=a(-t)
\\ y(t,s)=b(-s)
\\ z(t,s)=c(t+s)
\end{matrix}\right.}\)
Równanie parametryczne prostej:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(p)=ap
\\ y(p)=bp
\\ z(p)=cp
\end{matrix}\right.}\)
Teraz je porównaj.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej
Z czego wynika takie równanie płaszczyzny?
Według tego wzoru: w równaniu płaszczyzny znajdują się jeszcze współrzędne punktu, przez który przechodzi, czyli \(\displaystyle{ (a,b,0)}\), chyba że czegoś tutaj nie rozumiem.
Poza tym po podstawieniu do podanego przez Ciebie równania ponownie otrzymałem sprzeczność:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}p=-t
\\ s=-p=t
\\ p=t+s=2t\neq -t
\end{matrix}\right.}\)
Według tego wzoru: w równaniu płaszczyzny znajdują się jeszcze współrzędne punktu, przez który przechodzi, czyli \(\displaystyle{ (a,b,0)}\), chyba że czegoś tutaj nie rozumiem.
Poza tym po podstawieniu do podanego przez Ciebie równania ponownie otrzymałem sprzeczność:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}p=-t
\\ s=-p=t
\\ p=t+s=2t\neq -t
\end{matrix}\right.}\)
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej
To ja z pośpiechu przegapiłem że płaszczyzna nie jest zaczepiona w (0,0,0 ) a w (a, b, 0).
Twoje równanie płaszcyzny było dobre. Natomiast błędnie przyjąłeś że prosta zależy od parametru ,,t' użytego już w równaniu płaszcyzny. Co da układ równań złożony z Twojego równaina płaszczyzny i mojego równania prostej ? O ile wektor normalny płaszczyzny nie jest prostopadły do kierunkowego prostej to otrzymasz szukany punkt.
Ps. Rozwiązaniem błędnego układu który wcześniej zaproponowałem jest punkt (0,0,0) dla \(\displaystyle{ t=s=p=0}\)
Twoje równanie płaszcyzny było dobre. Natomiast błędnie przyjąłeś że prosta zależy od parametru ,,t' użytego już w równaniu płaszcyzny. Co da układ równań złożony z Twojego równaina płaszczyzny i mojego równania prostej ? O ile wektor normalny płaszczyzny nie jest prostopadły do kierunkowego prostej to otrzymasz szukany punkt.
Ps. Rozwiązaniem błędnego układu który wcześniej zaproponowałem jest punkt (0,0,0) dla \(\displaystyle{ t=s=p=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 3 razy
Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej
Faktycznie, nie zauważyłem tego.Ps. Rozwiązaniem błędnego układu który wcześniej zaproponowałem jest punkt (0,0,0) dla \(\displaystyle{ t=s=p=0}\)
Wyznaczyłem ostatecznie współrzędne punktu przecięcia:
\(\displaystyle{ \left ( \frac{2}{3}a,\frac{2}{3}b,\frac{2}{3}c \right )}\)
Dzięki bardzo za pomoc