Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej

Post autor: bartekac »

Witam,
niedawno spotkałem się z pewnym problemem z zagadnienia geometrii analitycznej:
Zdefiniujmy zmienne \(\displaystyle{ a, b ,c \in \mathbb{R}^{+}}\), płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ A=(a,b,0)}\), oraz prostą \(\displaystyle{ k}\) przechodzącą przez punkty \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (a,b,c)}\). Wektory równoległe płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) wyrażone są jako:
\(\displaystyle{ \overrightarrow{v_{1}}=[-a,0,c]
\\
\overrightarrow{v_{2}}=[0,-b,c]}\)

Wyznacz punkt przecięcia płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) z prostą \(\displaystyle{ k}\).

Podszedłem do tego zadania wyznaczając najpierw równanie parametryczne płaszczyzny na podstawie dwóch podanych wektorów i punktu do niej należącego:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t,s)=a(1-t)
\\ y(t,s)=b(1-s)
\\ z(t,s)=c(t+s)
\end{matrix}\right.}\)


Następnie równanie parametryczne prostej:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t)=at
\\ y(t)=bt
\\ z(t)=ct

\end{matrix}\right.}\)


I tutaj chciałem przyrównać strony układów równań, ale niestety pojawia się problem:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}at=a(1-t)
\\ bt=b(1-s)
\\ ct=c(t+s)

\end{matrix}\right.}\)


Z pierwszego równania wynika, że \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\), z drugiego, że \(\displaystyle{ s=1-t=\frac{1}{2}}\), a z trzeciego, iż \(\displaystyle{ s=0}\). Jest tu widoczna sprzeczność i wydaje mi się, że jest to spowodowane tym, że z jakiegoś powodu nie mogę przyrównać wartości funkcji dwóch zmiennych do wartości funkcji jednej zmiennej, ale szczerze mówiąc trochę się pogubiłem w tym problemie i nie wiem w końcu jak go teraz już rozwiązać.

Z góry dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 28 paź 2014, o 15:22 przez bartekac, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej

Post autor: kerajs »

Równanie parametryczne płaszczyzny:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(t,s)=a(-t)
\\ y(t,s)=b(-s)
\\ z(t,s)=c(t+s)
\end{matrix}\right.}\)


Równanie parametryczne prostej:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}x(p)=ap
\\ y(p)=bp
\\ z(p)=cp
\end{matrix}\right.}\)


Teraz je porównaj.
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej

Post autor: bartekac »

Z czego wynika takie równanie płaszczyzny?
Według tego wzoru: w równaniu płaszczyzny znajdują się jeszcze współrzędne punktu, przez który przechodzi, czyli \(\displaystyle{ (a,b,0)}\), chyba że czegoś tutaj nie rozumiem.

Poza tym po podstawieniu do podanego przez Ciebie równania ponownie otrzymałem sprzeczność:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{matrix}p=-t
\\ s=-p=t
\\ p=t+s=2t\neq -t

\end{matrix}\right.}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej

Post autor: kerajs »

To ja z pośpiechu przegapiłem że płaszczyzna nie jest zaczepiona w (0,0,0 ) a w (a, b, 0).
Twoje równanie płaszcyzny było dobre. Natomiast błędnie przyjąłeś że prosta zależy od parametru ,,t' użytego już w równaniu płaszcyzny. Co da układ równań złożony z Twojego równaina płaszczyzny i mojego równania prostej ? O ile wektor normalny płaszczyzny nie jest prostopadły do kierunkowego prostej to otrzymasz szukany punkt.

Ps. Rozwiązaniem błędnego układu który wcześniej zaproponowałem jest punkt (0,0,0) dla \(\displaystyle{ t=s=p=0}\)
bartekac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 14 mar 2014, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 3 razy

Punkt przecięcia płaszczyzny i prostej

Post autor: bartekac »

Ps. Rozwiązaniem błędnego układu który wcześniej zaproponowałem jest punkt (0,0,0) dla \(\displaystyle{ t=s=p=0}\)
Faktycznie, nie zauważyłem tego.

Wyznaczyłem ostatecznie współrzędne punktu przecięcia:
\(\displaystyle{ \left ( \frac{2}{3}a,\frac{2}{3}b,\frac{2}{3}c \right )}\)

Dzięki bardzo za pomoc
ODPOWIEDZ