Styczne do okręgu

[ecik1973]

Wyznacz równanie stycznej do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ \left( x-4\right) ^{2}+y ^{2}=10}\) i równoległej do prostej \(\displaystyle{ y=3x}\) dodam że niewiem od czego zacząć czy jakiś układ równań ?

[Zahion]

Co można powiedzieć o współczynniku kierunkowym prostej, którą szukasz ?

[ecik1973]

że jest równy 3

[Dilectus]

Styczna ma jeden punkt wspólny z okręgiem i ma ten sam współczynnik kierunkowy, co prosta \(\displaystyle{ y=3x}\), bo ma być do niej równoległa. Chodzi więc o prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=3x+b}\), przy czym b jest tak dobrane, żeby ta prosta była styczna do okręgu. Mamy zatem układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( x-4\right) ^{2}+y ^{2}=10 \\ y=3x+b \end{cases}}\)

Wstaw \(\displaystyle{ y}\) z drugiego równania do pierwszego. Dostaniesz trójmian kwadratowy ze względu na iks z parametrem \(\displaystyle{ b}\). Żądasz, żeby ten trójmian miał jeden pierwiastek, a więc, żeby \(\displaystyle{ \Delta =0}\). Ponieważ ta delta zależna jest od parametru \(\displaystyle{ b}\), więc dobierasz takie \(\displaystyle{ b}\), żeby \(\displaystyle{ \Delta =0}\).
To \(\displaystyle{ b}\) wstawiasz do drugiego równania naszego układu i otrzymujesz równanie stycznej. Oczywiście, dla elegancji rozwiązania, warto wyliczyć iks i znaleźć dla niego igrek, czyli współrzędne punktu styczności.

[ecik1973]

\(\displaystyle{ \left( x-4\right) ^{2} + \left( 3x+b\right) ^{2} =10}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -8x+16+9x ^{2}+6xb+b ^{2} -10=0}\)
\(\displaystyle{ 10x ^{2}-8x+6xb+b ^{2} +6=0}\)
\(\displaystyle{ 10x ^{2} -\left( 8-6b\right) x+\left( b ^{2}+6 \right)=0}\)

wyszło mi coś takiego i teraz mam liczyć delte

-- 26 paź 2014, o 18:45 --

jeszcze wyliczełem tak

\(\displaystyle{ \Delta= \left( 8-6b\right) ^{2}-4 \cdot 10\left( b ^{2} +6\right)=0}\)
\(\displaystyle{ 36b ^{2}-96b+64-40b ^{2} -240=0 /:\left( -4\right)}\)
\(\displaystyle{ -9b ^{2}+24b-16+10b ^{2}+60=0}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} +24b+44=0}\)

i teraz\(\displaystyle{ x _{1} i x _{2}}\) i to będą moje b czyli będa dwa rozwiązania

\(\displaystyle{ y=3x-2}\)
\(\displaystyle{ y=3x-22}\)

mam nadzieję że dobrze to wykombinowałem

[AndrzejK]

Dobrze.

[kerajs]

Inne podejście:
Można znależć prostą prostopadłą do danej i przechodzącą przez środek okręgu. Przecięcia tej prostej z okręgiem to punkty styczności szukanych stycznych równoległych do danej prostej.

Prostopadła to \(\displaystyle{ y= -\frac{1}{3}x+ \frac{4}{3}}\), punkty przecięcia to (7,-1) (1,1) a szukane styczne sa identyczne z podanymi we wcześniejszym poscie.