Prostopadłość sum wektorów

[KotwButach]

Proszę o pomoc, bo nikt na razie nie umiał mi poradzić:

Znajdź kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) wiedząc, że wektor \(\displaystyle{ 5\vec{a} - 4\vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 2\vec{a} + 4\vec{b}}\), a wektor\(\displaystyle{ \vec{a} - 5\vec{b}}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ 6\vec{a} - 2\vec{b}}\)

Nie potrzeba obliczeń, tylko ogólny szkic rozwiązania. Gdy podstawiam za wektor a =[x,y] i b=[z,g] i korzystam z iloczynu skalarnego równego zero(bo prostopadłość) wychodzi mi układ dwóch równań z czterema niewiadomymi.

Dziękuję..

[lukasz1804]

Przydadzą Ci się dwie informacje:

- iloczyn skalarny jest symetryczny i dwuliniowy, tj. dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ \vec{u},\vec{v},\vec{w},\vec{z}}\) i dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma,\delta}\) zachodzą równości

\(\displaystyle{ \vec{u}\circ\vec{v}=\vec{v}\circ\vec{u}}\)

oraz

\(\displaystyle{ (\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})\circ(\gamma\vec{w}+\delta\vec{z})=\alpha\gamma(\vec{u}\circ\vec{w})+\alpha\delta(\vec{u}\circ\vec{z})+\beta\gamma(\vec{v}\circ\vec{w})+\beta\delta(\vec{v}\circ\vec{z})}\);

(w skrócie: działamy podobnie jak przy mnożeniu wyrażeń algebraicznych)

- dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ \vec{v}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \vec{v}\circ\vec{v}=\|\vec{v}\|\cdot\|\vec{v}\|\cdot\cos 0^o=\|\vec{v}\|^2}\)

[KotwButach]

Chyba poszedłem w złą stronę bo wychodzi mi

\(\displaystyle{ (5 \vec{a} -4 \vec{b})\circ(2 \vec{a}+4 \vec{b})= 10| \vec{a}| ^{2} + 12| \vec{a}| \cdot | \vec{b}| \cdot \cos \alpha - 16| \vec{b}| ^{2}}\)

(gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między wektorami)

to ma być równe zero, z drugiej pary wektorów też wychodzi coś podobnego, jednak dalej mam 2 równania i 3 niewiadome.

[lukasz1804]

Spróbujmy nieco przekształcić równania układu:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 10| \vec{a}| ^{2} + 12| \vec{a}|| \vec{b}|\cos \alpha - 16| \vec{b}| ^{2}=0 \\ 6|\vec{a}|^2-32|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha+10|\vec{b}|^2=0 \end{cases}\iff \begin{cases} 80|\vec{a}|^2+96|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha-128|\vec{b}|^2=0 \\ 18|\vec{a}|^2-96|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha+30\vec{b}|^2=0 \end{cases}}\).

Dodając równania stronami łatwo dostaniemy \(\displaystyle{ |\vec{a}|=|\vec{b}|}\).

Możemy teraz wrócić do dowolnego z równań początkowego układu, np. do pierwszego. Mamy wtedy \(\displaystyle{ 12|\vec{a}|^2\cos\alpha-6|\vec{a}|^2=0}\), tj. \(\displaystyle{ 6|\vec{a}|^2(2\cos\alpha-1)=0}\).

Przyjmując, że wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest niezerowy dostajemy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{1}{2}}\).

I tyle.

[KotwButach]

Dziękuję bardzo.