prostopadłość prostych

[piotrekq94]

Czy prosta \(\displaystyle{ l_1}\):
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcl}
y-z+2=0&\\
3x-y+z-6=0&\\
\end{array} \right.}\)

jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ l_2}\):

\(\displaystyle{ \frac{x-12}{-5}= \frac{y-9}{1}= \frac{z-1}{-1}}\)


\(\displaystyle{ n_1=[0,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ n_2=[3,-1,1]}\)

\(\displaystyle{ n_1 \times n_2=0i-3j-3k}\)

I teraz \(\displaystyle{ x=0, y=-3, z=-3}\) mam podstawić do równań?

[lukasz1804]

Nie tyle podstawić do równań, ile obliczyć wartość iloczynu skalarnego otrzymanego wektora kierunkowego prostej \(\displaystyle{ l_1}\) z wektorem kierunkowym prostej \(\displaystyle{ l_2}\) (ten drugi wektor można odczytać wprost z równania prostej).

[piotrekq94]

Wektor z prostej \(\displaystyle{ l_2}\) wynosi: \(\displaystyle{ -5, 1, -1}\)?

[lukasz1804]

Jasne.

[piotrekq94]

I co dalej mam robić?

[lukasz1804]

Ile wynosi iloczyn skalarny wektorów prostopadłych? Oblicz iloczyn wektorów kierunkowych obu prostych, tj. \(\displaystyle{ (0,-3,-3)\circ(-5,1,-1)}\).

Proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe.

[piotrekq94]

\(\displaystyle{ (0,-3,-3)\circ(-5,1,-1)=0}\)

Czyli są prostopadłe?

[lukasz1804]

Dokładnie tak, proste są prostopadłe.

[kerajs]

Czy rozłączne proste mogą być prostopadłe?

[lukasz1804]

Celna uwaga, kerajs. Przyjąłem za prostopadłe proste o prostopadłych wektorach kierunkowych. Zwykle jednak żąda się dodatkowo, by obie proste leżały w jednej płaszczyźnie (czyli tym samym by miały punkt wspólny).

[piotrekq94]

Hmmm, czyli to zadanie jest wykonane poprawnie czy nie?