Wyznacz równania stycznych do okręgu.

[myszkamyszka]

Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu

\(\displaystyle{ (x+5)^{2}+y^{2}=9}\)

Styczne są poprowadzone z punktu \(\displaystyle{ P=(3,0)}\).

Wyznaczyłam współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ S=(-5,0)}\) i promień \(\displaystyle{ r=3}\).

Potem podstawiłam punkt \(\displaystyle{ P}\) do równania prostej (stycznej) o równaniu
\(\displaystyle{ y=ax+b}\) i wyszło mi, że \(\displaystyle{ b=-3a}\).

Czy dobrze zaczęłam? Co z tym dalej zrobić?

[Ania221]

Narysuj promień w punkcie styczności, niech to będą punkty \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\)
Z tw Pit oblicz długości odcinków \(\displaystyle{ PA_1}\) i \(\displaystyle{ PA_2}\), i potem \(\displaystyle{ \tg\alpha}\) obu kątów

[myszkamyszka]

Moja przeciwprostokątna to będzie wtedy odcinek \(\displaystyle{ SP}\)?

[piasek101]

Odległość szukanej stycznej od środka okręgu ma być równa promieniowi - to dokończenie Twojego pierwszego.

[myszkamyszka]

Wszystko mi się pomieszało, mógłby ktoś to jakoś dokładniej rozpisać?

[Dilectus]

Wszystko mi się pomieszało, mógłby ktoś to jakoś dokładniej rozpisać?

Zrób porządny rysunek: Najpierw okrąg, potem punkt \(\displaystyle{ P}\), wreszcie dwie proste przechodzące przez ten punkt i styczne do okręgu. Zauważ, że zarówno środek okręgu, jak i punkt \(\displaystyle{ P}\) leżą na osi \(\displaystyle{ OX}\). To bardzo upraszcza znalezienie równań stycznych do okręgu, przechodzących przez p-kt \(\displaystyle{ P}\), bo z łatwością policzysz tangens kąta nachylenia tych stycznych do osi \(\displaystyle{ OX}\), czyli ich współczynniki kierunkowe. Punkt \(\displaystyle{ P (3, 0)}\) spełnia równania tych prostych.
Weźmy równanie kierunkowe prostej

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ y _{P}=ax _{P}+b}\)

co prowadzi do zależności

\(\displaystyle{ a=- \frac{b}{3}}\)

Zrób dalej to, co proponuje Ania:

Narysuj promień w punkcie styczności, niech to będą punkty \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\)
Z tw Pit oblicz długości odcinków \(\displaystyle{ PA_1}\) i \(\displaystyle{ PA_2}\), i potem \(\displaystyle{ \tg\alpha}\) obu kątów

Przy tych tangensach uważaj, bo nie zawsze są to tangensy kątów nachylenia do osi \(\displaystyle{ OX}\) stycznych do okręgu.
Weżmy \(\displaystyle{ \angle OPA _{1}}\). Styczna \(\displaystyle{ PA _{1}}\) jest nachylona do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ \pi -\angle OPA _{1}}\). Musisz więc znaleźć \(\displaystyle{ \tg(\pi-\alpha)}\), znając \(\displaystyle{ \tg\alpha}\). Przyda Ci się do tego znajomoć wzorów redukcyjnych.
Analogicznie rozumując, znajdziesz łatwo współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ PA _{2}}\)

Ponieważ wiesz, że \(\displaystyle{ a=- \frac{b}{3}}\), łatwo znajdziesz współczynniki \(\displaystyle{ b}\) obu stycznych, a w rezultacie znajdziesz równania tych stycznych.