Krzywa w postaci kanonicznej - nazwa i współrzędne ognisk

[piotrekq94]

Tak jak w temacie

\(\displaystyle{ 8x^2-2y^2-16x-8y-40=0}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ 8(x-1)^2-2(y+2)^2=40}\)
\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{ (\sqrt{5}) ^2}- \frac{(y+2)^2}{ (2 \sqrt{5})^2 }=1}\)
to jest równanie hiperboli przesuniętej o wektor [1,-2]

wylicz ogniska dla hiperbo;i nieprzesuniętej:

a potem przesuń je o ten sam wektor

[piotrekq94]

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{ (\sqrt{5}) ^2}- \frac{(y+2)^2}{ (2 \sqrt{5})^2 }=1}\)

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd wzięły się te ułamki.

[Dilectus]

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć skąd wzięły się te ułamki.

Bierzesz równanie

\(\displaystyle{ 8(x-1)^2-2(y+2)^2=40}\)

i dzielisz obustronnie przez \(\displaystyle{ 40}\)

\(\displaystyle{ \frac{8(x-1)^2}{40}- \frac{2(y+2)^2}{40}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{5}- \frac{(y+2)^2}{20}=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{5}- \frac{(y+2)^2}{4 \cdot 5}=1}\)

i mianowniki przedstawiasz jako kwadraty pewnych liczb

\(\displaystyle{ \frac{(x-1)^2}{ \sqrt{5}^2 }- \frac{(y+2)^2}{\left( 2 \cdot \sqrt {5}\right)^2}=1}\)

A to wszystko po to, żeby uzyskać klasyczne równanie hiperboli przesuniętej o wektor \(\displaystyle{ v}\)

\(\displaystyle{ \frac{\left( x -x _{v} \right) ^{2}}{a^{2}} - \frac{\left( y-y _{v} \right) ^{2}}{b^{2}} = 1}\)

gdzie a jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast \(\displaystyle{ b}\) jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Poczytaj choćby tu:

[piotrekq94]

Współrzędne ogniska to:

\(\displaystyle{ c= \frac{1}{2}}\)


\(\displaystyle{ (- \frac{1}{2},0)}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2},0)}\)


???

[kerajs]

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ c^2=5+20}\)
\(\displaystyle{ c=5}\)
Punkty \(\displaystyle{ O _{1}= (5,0)}\) i \(\displaystyle{ O _{2}= (-5,0)}\) są ogniskami paraboli \(\displaystyle{ \frac{x^2}{ (\sqrt{5}) ^2}- \frac{y^2}{ (2 \sqrt{5})^2 }=1}\)

Ale Ty masz parabolę przesunietą o wektor \(\displaystyle{ \left[ 1,-2\right]}\) więc i ogniska musisz przesunąć o ten sam wektor: \(\displaystyle{ O _{1}= (6,-2)}\) i \(\displaystyle{ O _{2}= (-4,-2)}\)