Treść zadania:
Oblicz kąt, jaki w sześcianie tworzy przekątna ściany bocznej z przekątną wewnętrzną. Ponadto oblicz kąt między pomiędzy przekątnymi ścian bocznych.
Należy to obliczyć przy użyciu iloczynu skalarnego.
Nie wiem jak oznaczyć współrzędne wektorów zawierających te przekątne. Raz wychodzi mi poprawnie pierwsza część zadania, za to druga przy tych samych obliczeniach jest kompletnie bez sensu i na odwrót gdy zmienię oznaczenia...
Sześcian opisany wektorami
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Sześcian opisany wektorami
Sześcian o boku a ma wierzchołki A,B,C,D,A',B',C',D'
Wyznaczę kąt miedzy przekątnymi CA i CB'
\(\displaystyle{ \vec{AB'} =\vec{AC}+ \vec{CB'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB'}\circ \vec{AB'}=\left(\vec{AC}+ \vec{CB'} \right) \circ\left( \vec{AC}+ \vec{CB'}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{AB'} \right| ^{2} =\left|\vec{AC} \right| ^{2}+2\vec{AC} \circ \vec{CB'}+\left|\vec{CB'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{AB'} \right| ^{2} =\left|\vec{AC} \right| ^{2}-2\vec{CA} \circ \vec{CB'}+\left|\vec{CB'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=2a^2-2\left|\vec{CA} \right| \cdot \left|\vec{CB'} \right| \cdot \cos \alpha +2a^2}\)
\(\displaystyle{ 0=2a^2-2 \cdot a \sqrt{2}\cdot a \sqrt{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha =60 ^{\circ}}\)
Wyznaczę kąt miedzy przekątnymi CA i CB'
\(\displaystyle{ \vec{AB'} =\vec{AC}+ \vec{CB'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB'}\circ \vec{AB'}=\left(\vec{AC}+ \vec{CB'} \right) \circ\left( \vec{AC}+ \vec{CB'}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{AB'} \right| ^{2} =\left|\vec{AC} \right| ^{2}+2\vec{AC} \circ \vec{CB'}+\left|\vec{CB'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{AB'} \right| ^{2} =\left|\vec{AC} \right| ^{2}-2\vec{CA} \circ \vec{CB'}+\left|\vec{CB'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=2a^2-2\left|\vec{CA} \right| \cdot \left|\vec{CB'} \right| \cdot \cos \alpha +2a^2}\)
\(\displaystyle{ 0=2a^2-2 \cdot a \sqrt{2}\cdot a \sqrt{2}\cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha =60 ^{\circ}}\)
-
anb95
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 7 paź 2014, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Sześcian opisany wektorami
Dziękuję za odpowiedź wiem, że znacznie prościej można to zauważyć, gdyż przekątne boczne z przekątną podstawy tworzą trójkąt równoboczny...
Jednak co z pierwszą częścią zadania, tzn. kąt między przekątną boczną i wewnętrzną?? Jak oznaczyć wektor przekątnej wewnętrznej i pozostałe wektory, aby obliczyć to iloczynem skalarnym?
Jednak co z pierwszą częścią zadania, tzn. kąt między przekątną boczną i wewnętrzną?? Jak oznaczyć wektor przekątnej wewnętrznej i pozostałe wektory, aby obliczyć to iloczynem skalarnym?
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Sześcian opisany wektorami
Wyznaczę kąt miedzy przekątnymi AC' i AC
\(\displaystyle{ \vec{CC'} =\vec{CA}+ \vec{AC'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CC'}\circ \vec{CC'}=\left(\vec{CA}+ \vec{AC'} \right) \circ\left( \vec{CA}+ \vec{AC'}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{CC'} \right| ^{2} =\left|\vec{CA} \right| ^{2}+2\vec{CA} \circ \vec{AC'}+\left|\vec{AC'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{CC'} \right| ^{2} =\left|\vec{CA} \right| ^{2}-2\vec{AC} \circ \vec{AC'}+\left|\vec{AC'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^2=2a^2-2\left|\vec{AC} \right| \cdot \left|\vec{AC'} \right| \cdot \cos \alpha +3a^2}\)
\(\displaystyle{ 0=4a^2-2 \cdot a \sqrt{2}\cdot a \sqrt{3}\cos \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{4}{ \sqrt{6} }= \frac{ \sqrt{6} }{3}}\)
\(\displaystyle{ \beta =\arccos \frac{ \sqrt{6} }{3} \approx 35 ^{\circ}16 ^{''}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CC'} =\vec{CA}+ \vec{AC'}}\)
\(\displaystyle{ \vec{CC'}\circ \vec{CC'}=\left(\vec{CA}+ \vec{AC'} \right) \circ\left( \vec{CA}+ \vec{AC'}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{CC'} \right| ^{2} =\left|\vec{CA} \right| ^{2}+2\vec{CA} \circ \vec{AC'}+\left|\vec{AC'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|\vec{CC'} \right| ^{2} =\left|\vec{CA} \right| ^{2}-2\vec{AC} \circ \vec{AC'}+\left|\vec{AC'} \right| ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a^2=2a^2-2\left|\vec{AC} \right| \cdot \left|\vec{AC'} \right| \cdot \cos \alpha +3a^2}\)
\(\displaystyle{ 0=4a^2-2 \cdot a \sqrt{2}\cdot a \sqrt{3}\cos \beta}\)
\(\displaystyle{ \cos \beta = \frac{4}{ \sqrt{6} }= \frac{ \sqrt{6} }{3}}\)
\(\displaystyle{ \beta =\arccos \frac{ \sqrt{6} }{3} \approx 35 ^{\circ}16 ^{''}}\)