Wyznaczyć kąty jaki tworzy wektor z płaszczyzną

[zioomus]

Pierwsza lekcja z nowego przedmiotu na studiach i człowiek się trochę gubi po wakacyjnej przerwie. Mnożenie i dodawanie wektorów sobie szybko przypomniałem, ale na to nie mam koncepcji, choć wygląda banalnie, mianowicie:
Wyznaczyć kąty jakie tworzy wektor \(\displaystyle{ \vec{A}}\) z płaszczyznami
a) x=0
b) y=0
c) z=0
Obliczenia wykonać dla \(\displaystyle{ \vec{A}}\) = x+y+z (jednostkowe składowe wektora, u nas zapisujemy to jako ^ nad a, b i c, nie znalazłem nic podobnego w LaTeX-ie)

Drugie pytanie, również dotyczące wektorów - jak rysować wektory w przestrzeni? Jak mam dwie współrzędne to jeszcze pół biedy - metoda równoległoboku tudzież trójkąta, a jak mam trzy? Dajmy na to x=1, y=2, z=3, jak to narysować?

[sebnorth]

Niech \(\displaystyle{ m}\) to będzie wektor \(\displaystyle{ [1,1,1]}\), \(\displaystyle{ n}\) wektor normalny płaszczyzny na który rzutujemy wektor \(\displaystyle{ m}\).

Dla płaszczyzn \(\displaystyle{ x=0, y =0, z=0}\) wektor \(\displaystyle{ n}\) będzie równy odpowiednio \(\displaystyle{ [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]}\).

Rozpatrzmy przypadek \(\displaystyle{ x=0}\).

Szukany kąt \(\displaystyle{ \phi}\) będzie równy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \angle(m,n)}\) lub \(\displaystyle{ \angle(m,n) - \frac{\pi}{2}}\)

zatem \(\displaystyle{ \sin \phi = \sin (\frac{\pi}{2} - \angle(m,n)) = \cos \angle(m,n)}\)

lub

\(\displaystyle{ \sin \phi = \sin (\angle(m,n) - \frac{\pi}{2}) = \sin -( \frac{\pi}{2} - \angle(m,n) ) = - \sin (\frac{\pi}{2} - \angle(m,n)) = - \cos \angle(m,n)}\)

czyli \(\displaystyle{ \sin \phi = |\cos \angle(m,n) |}\)

Z kolei \(\displaystyle{ |\cos \angle(m,n) | = \frac{|m \circ n| }{|| m || \cdot || n ||}}\)

\(\displaystyle{ || m || = \sqrt{3}, \; || n || = 1, \; |m \circ n | = 1}\)

\(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Jak się naszkicuje te wektory to \(\displaystyle{ \phi}\) jest ostry czyli \(\displaystyle{ \phi = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}}\)

[siwymech]

AU

65887246398697364443.jpg (5.52 KiB) Przejrzano 130 razy

Do narysowania wektora np. v potrzebny przestrzenny układ współrzędnych.
Składa się on z trzech osi (x,y,z)wzajemnie do siebie prostopadłych i przecinjacych się w jednym punkcie(O).
Na rysunku wybrano orientację prawoskrętną- patrząc z końca osi z widzimy oś x po prawej stronie osi y i przyjęto składowe wektoara vx,vy i vz.
Kierunki rzutowania(rys.) wyznaczają osie układu.