Witam,
zmagam się z takim zadaniem:
W prostokącie ABCD dane są: wierzchołek C(2,4) i wektor AB = [4,4]. Wyznacz równanie ogólne prostej zawierającej przekątną AC tego prostokąta, jeśli wiadomo, że wierzchołek A należy do prostej k: x - y -4 = 0.
Ktoś pomoże?
Równanie ogólne prostej
-
szw1710
Równanie ogólne prostej
Tak więc \(\displaystyle{ k:y=x-4}\), skąd \(\displaystyle{ A(x,x-4)}\) dla pewnego, na razie nieznanego \(\displaystyle{ x}\). Mając \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=[4,4]}\) łatwo znajdziesz \(\displaystyle{ B}\). Wyznaczając teraz wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}}\), prostopadłość tych dwóch wektorów daje nam zerowanie się iloczynu skalarnego, skąd łatwo wyliczamy \(\displaystyle{ x}\). Masz tu 90% gotowca. Zastosuj się tylko do tych przepisów.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Równanie ogólne prostej
Można też tak (też prawie gotowiec, choć mniej elegancki od prawie gotowca mojego Przedmówcy, @szw1710):
Wierzchołek B leży na prostej \(\displaystyle{ k}\) (bo leży na niej punkt \(\displaystyle{ A}\)). Leży również na prostej \(\displaystyle{ l}\) prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k}\), przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ C(2,4)}\). Współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) jest równy ujemnej odwrotności współczynnika kierunkowego prostej \(\displaystyle{ k}\) (bo proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są wzajemnie prostopadłe). Możemy więc napisać:
\(\displaystyle{ y _{c} =-x _{c} + b}\)
skąd
\(\displaystyle{ b=x _{c}+y _{c}}\)
Prosta l ma równanie
\(\displaystyle{ y=-x+x _{c}+y _{c}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y=-x+6}\)
Przecięcie prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) wyznacza współrzędne punktu \(\displaystyle{ B}\). Będą one rozwiązaniem układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-4 \\ y=-x+6 \end{cases}}\)
A jak już będziesz miał p-kt \(\displaystyle{ B}\), to z łatwością znajdziesz p-kt \(\displaystyle{ A}\), posługując się wektorem \(\displaystyle{ \vec {AB}}\).
Gdy wyznaczysz p-kt \(\displaystyle{ A}\), to z łatwością napiszesz równanie prostej przechodzącej przez p-kty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\).
Wierzchołek B leży na prostej \(\displaystyle{ k}\) (bo leży na niej punkt \(\displaystyle{ A}\)). Leży również na prostej \(\displaystyle{ l}\) prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ k}\), przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ C(2,4)}\). Współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\) jest równy ujemnej odwrotności współczynnika kierunkowego prostej \(\displaystyle{ k}\) (bo proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) są wzajemnie prostopadłe). Możemy więc napisać:
\(\displaystyle{ y _{c} =-x _{c} + b}\)
skąd
\(\displaystyle{ b=x _{c}+y _{c}}\)
Prosta l ma równanie
\(\displaystyle{ y=-x+x _{c}+y _{c}}\)
czyli
\(\displaystyle{ y=-x+6}\)
Przecięcie prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) wyznacza współrzędne punktu \(\displaystyle{ B}\). Będą one rozwiązaniem układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-4 \\ y=-x+6 \end{cases}}\)
A jak już będziesz miał p-kt \(\displaystyle{ B}\), to z łatwością znajdziesz p-kt \(\displaystyle{ A}\), posługując się wektorem \(\displaystyle{ \vec {AB}}\).
Gdy wyznaczysz p-kt \(\displaystyle{ A}\), to z łatwością napiszesz równanie prostej przechodzącej przez p-kty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\).