Wpisywanie okręgów w figury[hipoteza]

[Przemyslaw Grabowski]

Ostatnio robiłem kilka zadań z geometrii, gdzie pojawiały się okręgi i wykorzystywało się, że okrąg wpisany w wielokąt jest jednoznaczny i natchnęło mnie to do postawienia pytania:

Czy dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) istnieją figury w które można wpisać \(\displaystyle{ n}\) różnych okręgów, ale już nie \(\displaystyle{ n+1}\)?

Gdzie oczywiście od razu wyłaniają się 2 problemy powodujące nieścisłość pytania:
1)Co to jest figura?
2)Co to znaczy wpisać okrąg w figurę?

Pierwszy problem rozwiązuję taką definicją:
Figura: jest to wycięty obszar płaszczyzny przez uogólnioną łamaną zwyczajną zamkniętą plus ta łamana.
Uogólnienie tej łamanej polega(intuicyjnie) na tym, że odcinki zastępujemy krzywymi różniczkowalnymi, gdzie punkty nieróżniczkowalne(tj. te w których mamy ,,ostry zwrot') są zwane wierzchołkami tej łamanej, a część łamanej pomiędzy dwoma kolejnymi wierzchołkami(może to być ten sam wierzchołek)(idąc po łamanej) nazywamy bokiem tej łamanej, oraz przyjmuję, że łamana może nie mieć wierzchołków i mieć przez to 1 bok.
Boki i wierzchołki łamanej są odpowiednio bokami i wierzchołkami figury, którą ,,wyznacza".

Drugi problem rozwiązuję tak:
,,Wpisać okrąg w figurę" oznacza oczywiście znaleźć okrąg wpisany w nią, więc niech taka bedzie definicja:
Okrąg wpisany w figurę to okrąg, który:
1)jest cały zawarty w figurze
2)jest styczny do każdego jej boku
2.5)ma z każdym bokiem tylko 1 punkt wspólny

Gdzie przez styczność okręgu do boku figury w danym punkcie rozumiem styczność okręgu do prostej stycznej do tego boku w tym punkcie.


I mając teraz rozwiązane te problemy pytam ściśle:
Czy dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego istnieje figura w którą można wpisać \(\displaystyle{ n}\) różnych okręgów, ale nie można \(\displaystyle{ n+1}\)?

Ja osobiście nie mam pojęcia jaka jest odpowiedź, ale podejrzewam, że zachodzi coś takiego:
W figurę można wpisać 0, 1 lub \(\displaystyle{ +\infty}\) okręgów.

Ktoś ma może jakiś pomysł jak znaleźć odpowiedź na to pytanie?

PS. Nie jestem pewny, czy dobrze wybrałem dział geometrii na ten problem, ale że pojawia się tutaj intuicyjna różniczkowalność, a różniczkowanie jest w geometrii analitycznej to wybrałem ją.

[a4karo]

Mam poważny problem z Twoją definicją: z ilu kawałków składa się brzeg koła? bo jak z jednego, to w myśl Twojej definicji każdy okrąg wewnętrznie styczny jest wpisany.

[Przemyslaw Grabowski]

Tak to jest prawdą. Wedle mojej definicji koło ma jeden brzeg(chodzi o bok?) i każdy wewnętrznie styczny okrąg z nim jest w niego wpisany. Przez to ilość rożnych okręgów wpisanych w niego to na pewno \(\displaystyle{ +\infty}\).(ogólnie wierzchołek to punkt przerwania się różniczkowalności, a bok to część brzegu pomiędzy kolejnymi wierzchołkami, chyba, że wierzchołków nie ma, wtedy całość jest bokiem jak jest jeden wierzchołek, to też mamy jeden bok[bo idąc po brzegu kolejnym wierzchołkiem będzie on sam, więc jest jeden bok])

Elipsy i inne powyginane(gładko), ale nie po wykrzywiane(ostro) koła(figury posiadające 0 wierzchołków) także raczej mają tą własność, bo zachodzi coś takiego: wybieramy sobie jakiś punkt na brzegu(boku) prowadzimy przez niego styczną, a potem możemy chyba zawsze dobrać tak promień, aby nigdzie indziej poza punktem styczności pewien okrąg nie miał punktu wspólnego z bokiem i był we wnętrzu tej figury, wtedy okrąg taki jest wpisany w tą figurę. Możemy to zrobić dla dowolnego punktu, więc ilość tych okręgów to \(\displaystyle{ +\infty}\).

Ojejciu; Chyba zakładam jeszcze dodatkowo niepustość figury co jest równoważne, że jakiś bok ma niezerową długość w tej figurze(ale to chyba mało ważne->po prostu punkt nie jest figurą wedle mojej definicji), czyli dla figury konieczne jest istnienie boku, ale niekoniecznie wierzchołka.

Dodatkowo rozumowanie o elipsach i innych takich powyginanych kołach można łatwo przenieść na figury o jednym wierzchołku. Tam po prostu można ominąć sąsiedztwo wierzchołka, a po reszcie zrobić rozumowanie jak powyżej. Które może nie być poprawne, ale jakby było to ukazuje, że jeśli chcemy, np. pokazać figurę spełniającą żądanie dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) to można w ogóle pominąć z rozważań figury o braku, lub jednym wierzchołku. Które chciałem, aby były figurami wedle mojej definicji, bo głupio by było jakby na przykład koło nie było figurą.




Wspaniale byłoby w ogóle znaleźć jakikolwiek przykład figury, która ,,spełnia pytanie' dla jakiegoś \(\displaystyle{ n>1}\). Ja nic nie znalazłem(możliwe, że nie dostrzegam jakieś łatwej konstrukcji ), ale próbuję w wolnych chwilach coś wyrysować.

PS. Jeśli coś napisałem nie jasno to przepraszam i prosiłbym o wskazanie takiego fragmentu. Spróbuje go inaczej ująć. Oraz jeśli są jakieś wątpliwości co do tych definicji to też proszę o napisanie ich postaram się je rozwiać w końcu to moje definicje -> powinienem móc to zrobić.

[a4karo]

nadal wątpliwości do definicji: przecież to samo koło możesz rozpartywac jako figurę z jednym brzegiem, ale równiw dobrze z dwoma (każde z półkoli jest brzegiemm), trzema itd.
A co powiesz na trójkąt równoboczny ABC, w który można wpisac okrąg, a jak na boku BC dodamy punkt D, to już nie?

Czy w swietle Twojej definicji w taki "startrekowy" deltoid da się wpisac okrąg?

[Przemyslaw Grabowski]

nadal wątpliwości do definicji: przecież to samo koło możesz rozpartywac jako figurę z jednym brzegiem, ale równiw dobrze z dwoma (każde z półkoli jest brzegiemm), trzema itd.

Nie mogę, nigdzie nie przerywa się różniczkowalność(nie ma ostrego przejścia jak np. w wykresie funkcji \(\displaystyle{ y=|x|}\) dla punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\). Brzegi(boki) są pomiędzy kolejnymi wierzchołkami o ile conajmniej 1 taki istnieje. Jeśli nie istnieje mamy jeden bok/brzeg(chociaż brzeg jest pojęciem ogólniejszym mi się zdaje).

A co powiesz na trójkąt równoboczny ABC, w który można wpisac okrąg, a jak na boku BC dodamy punkt D, to już nie?
Czy w swietle Twojej definicji w taki "startrekowy" deltoid da się wpisac okrąg?

Jeśli go oznaczymy(on tam cały czas jest) jako D to nie jest on wierzchołkiem, bo nie przerywa tam się różniczkowalność odcinka BC, więc dalej da się wpisać ten okrąg.

Dam taki przykład, klasyczne walentynkowe serce jest w myśl mojej definicji figurą o dwóch bokach i dwóch wierzchołkach(bo w dwóch miejscach przerywa się różniczkowalność). Klasyczne to mniej więcej takie:

Kod: Zaznacz cały

http://www.tik-tak.pl/kolorowanki/files

... 0_s600.jpg
A na tym obrazku:
... unek60.jpg
W a) mamy zacieniowaną figurę o 3 bokach i 3 wierzchołkach.
W b) mamy zacieniowaną figurę o 6 bokach i 6 wierzchołkach.
A na tym:
http://dobiho.com/wp/gallery/albums/blo ... 341469.png
mamy figurę o dwóch wierzchołkach i dwóch bokach.
Natomiast tutaj:
http://www.medianauka.pl/matematyka/gra ... res237.jpg
Mamy figurę(zakreskowaną na różowo) o dwóch wierzchołkach i takiej samej ilości boków.
A tutaj:
http://i.ytimg.com/vi/usBQvx08KzM/maxresdefault.jpg
to żółte ma dwa wierzchołki przez co 2 boki.

Sądzę, że teraz powinno to być jaśniejsze.