wektor

[Petermus]

Wykres funkcji y = 2x + 1 przesunięto o wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) = [-5,1]. Jaki wzór ma funkcja, której wykres otrzymano. Jeżeli do tego zadania potrzebne są rysunki prosiłbym o pokazanie jak powinny one wyglądać.

[Sylwek]

Rysunek dla lepszego zrozumienia problemu


Każdy punkt tego wykresu jest przesunięty o wektor \(\displaystyle{ \vec{u} = [-5,1]}\).
Wybieramy więc dwa punkty z funkcji i wypisujemy ich współrzędne, powiedzmy:
\(\displaystyle{ P=(0,1)}\) i \(\displaystyle{ R=(2,5)}\). Po przesunięciu o wektor \(\displaystyle{ \vec{u} = [-5,1]}\) współrzędne punktu P' (punkt P po przesunięciu) będą wynosić:
\(\displaystyle{ P'=(0-5 , 1+1 )}\) --> \(\displaystyle{ P'=(-5,2)}\), a punktu R':
\(\displaystyle{ R'=(2-5,5+1)}\) --> \(\displaystyle{ R'=(-3,6)}\)
Więc współczynnik kierunkowy nowej prostej wynosi:
\(\displaystyle{ a=\frac{y_{R'}-y_{P'}}{x_{R'}-x_{P'}}=\frac{6-2}{-3-(-5)}=\frac{4}{2}=2}\)
Jest on taki sam jak w funkcji wyjściowej i mogłem to od razu napisać, ale chciałem dojść do tego rachunkami. Zostało nam jeszcze obliczyć wyraz wolny nowej prostej, aby to zrobić, podstawimy współrzędne punktu P' do wzoru:
\(\displaystyle{ y=ax+b}\)
\(\displaystyle{ b=y-ax}\)
\(\displaystyle{ b=2-2\cdot(-5)=2-(-10)=2+10=12}\)

Odp: Nowy wzór prostej to \(\displaystyle{ y=2x+12}\)

[Petermus]

A skąd wziąłeś te współrzędne punktu P i R?

[Sylwek]

Mogłem wybrać jakiekolwiek punkty, pod warunkiem, że należą do prostej y=2x+1. Tutaj dla P wybrałem sobie x=0 i podstawiłem do wzoru y=2x+1=2*0+1=1 , a dla R wybrałem sobie x=2 i podstawiłem do wzoru i wyszło mi y=5. Równie dobrze mogłem wybrać punkty gdzie x=1 i y=3 lub x=-100 i y=-199