Witam.
Pilnie potrzebuję pomocy z zadaniem: Oblicz objętość równoległościanu o wierzchołkach O(1,0,1), P(3,7,4), Q(4,9,5) i R(2,5,4).
Objętość równoległościanu o podanych wierzchołkach.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Objętość równoległościanu o podanych wierzchołkach.
Obliczamy współrzędne wektorów rozpinających równoległościan
\(\displaystyle{ \vec{OP}=\left[3-1, 7-0 , 4-1 \right]=\left[2, 7, 3 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{OQ}=\left[4-1, 9-0 , 5-1 \right]=\left[3, 9, 4 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{OR}=\left[2-1, 5-0 , 4-1 \right]=\left[1, 5, 3 \right]}\)
Tworzymy macierz Gramma (iloczynów skalarnych wektorów)
\(\displaystyle{ \Gamma=\left[\begin{array}{ccc} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\g_{21} & g_{22}& g_{23}\\g_{31} & g_{32} & g_{33}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g_{11}=\vec{OP}\cdot \vec{OP}=\left[2, 7, 3 \right]\cdot \left[2, 7, 3 \right]=2\cdot 2+7\cdot 7+3\cdot 3=4+49+9=62,}\)
\(\displaystyle{ g_{12}=\vec{OP}\cdot \vec{OQ}=\left[2, 7, 3 \right]\cdot \left[3, 9, 4 \right]=2\cdot 3+7\cdot 9+3\cdot 4=6+63 +12=81,}\)
\(\displaystyle{ g_{13}=\vec{OP}\cdot \vec{OR}=\left[2, 7, 3 \right]\cdot \left[1, 5, 3 \right]=2\cdot 1+7\cdot 5+3\cdot 3= 2+35+9=46}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ g_{21}=81, g_{22}=106, g_{23}= 60, g_{31}=46, g_{32}=60, g_{33}=35.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \Gamma=\left[\begin{array}{ccc} 62&81&46\\ 81&106 &60\\46&60&35\end{array}\right]}\)
Objętość równoległościanu \(\displaystyle{ V}\) jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z wyznacznika macierzy Gramma.
\(\displaystyle{ V= \sqrt{det(\Gamma)}=\sqrt{9}=3.}\)
Jak zasugerował a4karo, można też obliczyć objętość równoległościanu jako wartość bezwzględną iloczynu mieszanego wektorów rozpinających ten równoległościan
\(\displaystyle{ V= \left| \vec{OQ}\times \vec{OP}\right|\cdot \vec{OR}=\left|det\left[\begin{array}{ccc}3&9&4\\2&7&3\\1&5&3 \end{array}\right]\right|=3.}\)
\(\displaystyle{ \vec{OP}=\left[3-1, 7-0 , 4-1 \right]=\left[2, 7, 3 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{OQ}=\left[4-1, 9-0 , 5-1 \right]=\left[3, 9, 4 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{OR}=\left[2-1, 5-0 , 4-1 \right]=\left[1, 5, 3 \right]}\)
Tworzymy macierz Gramma (iloczynów skalarnych wektorów)
\(\displaystyle{ \Gamma=\left[\begin{array}{ccc} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\g_{21} & g_{22}& g_{23}\\g_{31} & g_{32} & g_{33}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ g_{11}=\vec{OP}\cdot \vec{OP}=\left[2, 7, 3 \right]\cdot \left[2, 7, 3 \right]=2\cdot 2+7\cdot 7+3\cdot 3=4+49+9=62,}\)
\(\displaystyle{ g_{12}=\vec{OP}\cdot \vec{OQ}=\left[2, 7, 3 \right]\cdot \left[3, 9, 4 \right]=2\cdot 3+7\cdot 9+3\cdot 4=6+63 +12=81,}\)
\(\displaystyle{ g_{13}=\vec{OP}\cdot \vec{OR}=\left[2, 7, 3 \right]\cdot \left[1, 5, 3 \right]=2\cdot 1+7\cdot 5+3\cdot 3= 2+35+9=46}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ g_{21}=81, g_{22}=106, g_{23}= 60, g_{31}=46, g_{32}=60, g_{33}=35.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \Gamma=\left[\begin{array}{ccc} 62&81&46\\ 81&106 &60\\46&60&35\end{array}\right]}\)
Objętość równoległościanu \(\displaystyle{ V}\) jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z wyznacznika macierzy Gramma.
\(\displaystyle{ V= \sqrt{det(\Gamma)}=\sqrt{9}=3.}\)
Jak zasugerował a4karo, można też obliczyć objętość równoległościanu jako wartość bezwzględną iloczynu mieszanego wektorów rozpinających ten równoległościan
\(\displaystyle{ V= \left| \vec{OQ}\times \vec{OP}\right|\cdot \vec{OR}=\left|det\left[\begin{array}{ccc}3&9&4\\2&7&3\\1&5&3 \end{array}\right]\right|=3.}\)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Objętość równoległościanu o podanych wierzchołkach.
A co z sytuacją janusz47, gdy jeden (lub więcej) z przyjętych przez Ciebie wektorów jest przekątną ściany bocznej lub przekątną równoległościanu?