Wyznaczyć parametr k, układ równań i okrąg

[chlopina]

Na lekcji miałem zadanie: Dla jakiego parametru k proste k i l przecinają się w prostokącie. Był podany układ równań, trzeba było zapisać dwa warunki i całkiem proste. Jestem w 2kl lic więc nie mam wiedzy nt geometrii analitycznej, ale postawiłem sobie pytanie:

Dla jakiego parametru k proste \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\) przecinają się w okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 3}\), i środku w punkcie \(\displaystyle{ (x,y)=(1,1)}\).
\(\displaystyle{ k: x+y=k}\)
\(\displaystyle{ l: 2x-y=k-4}\)

Właściwie to od czego powinienem zacząć się uczyć, abym był w stanie robić tego typu zadania? Prosiłbym też o jakieś wskazówki lub od razu o rozwiązanie

[loitzl9006]

Od podstaw - jak ogarniesz dobrze podstawy i będziesz robił zadanka ze zrozumieniem to osiągniesz wystarczający poziom by rozwiązywać takie problemy jak ten co sobie postawiłeś. Ale poczekaj aż będziesz przerabiał takie zadania w szkole - wtedy zacznij cisnąć.

\(\displaystyle{ x+y=k \ \to \ y=k-x \\ 2x-y=k-4 \ \to \ 2x-k+4=y \\ k-x=2x-k+4 \\ -3x=-2k+4 \ \ \ \ |:(-3) \\ x=\frac23k-\frac43 \\ y=k-x \ \to \ y=k-\left( \frac23k-\frac43\right) \ \to \ y=\frac13k+\frac43}\)

Punkt przecięcia prostych ma współrzędne \(\displaystyle{ \left( \frac23k-\frac43; \ \frac13k+\frac43\right)}\)

Aby ten punkt przecinał się w okręgu (raczej: należał do okręgu?) to odcinek od punktu \(\displaystyle{ (1;1)}\) do punktu \(\displaystyle{ \left( \frac23k-\frac43; \ \frac13k+\frac43\right)}\)
ma być równy promieniowi okręgu czyli \(\displaystyle{ 3}\).
(Okrąg o środku \(\displaystyle{ S}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) - zbiór punktów odległych od \(\displaystyle{ S}\) o \(\displaystyle{ r}\))
(koło o środku \(\displaystyle{ S}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) - zbiór punktów odległych od \(\displaystyle{ S}\) co najwyżej o \(\displaystyle{ r}\))

Długość wspomnianego odcinka jest równa (korzystamy ze wzoru na długość odcinka):
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( \frac23k-\frac43-1\right)^2+\left( \frac13k+\frac43-1\right)^2 } =\\=\sqrt{\left( \frac23k-\frac73\right)^2+\left( \frac13k+\frac13\right)^2 }=\sqrt{\frac49k^2-\frac{28}9k+\frac{49}9+\frac19k^2+\frac29k+\frac19}=\\=\sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}}\)

Aby odcinek należał do okręgu, to musi zachodzić równość
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}=3}\)
Rozwiązujemy równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}=3 \ \ \ \ \ |()^2 \\ \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9=9 \\ \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9-\frac{81}9=0 \\ \frac59k^2-\frac{26}9k-\frac{31}9=0 \ \ \ \ \ |\cdot9 \\ 5k^2-26k-31=0 \\ \Delta=26^2-4\cdot5\cdot(-31)=676+620=1296 \ \to \ \sqrt\Delta=36 \\ k_1=\frac{26-36}{5\cdot2}=\frac{-10}{10}=-1 \\ k_2=\frac{26+36}{5\cdot2}=6.2=6\frac15}\)

Długość odcinka musi być dodatnia, zatem \(\displaystyle{ \sqrt{\frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}>0}\):
\(\displaystyle{ \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9>0 \ \ \ \ \ \ \ |\cdot9 \\ 5k^2-26k+50>0 \\ \Delta=26^2-4\cdot5\cdot50=676-1000<0}\)
Delta mniejsza od zera (w połączeniu z dodatnim współczynnikiem przy \(\displaystyle{ k^2}\)) oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ k}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac59k^2-\frac{26}9k+\frac{50}9}\) jest dodatnie.

Jeśli nigdzie nie zrobiłem błędu to odp jest \(\displaystyle{ k\in\left\{ -1; \ 6\frac15 \right\}}\)

[chlopina]

Ok dzięki, pewnie pouczę się podstaw, zobaczymy czy się zainteresuję tym działem

Rozwiązaniem nie powinien być przedział \(\displaystyle{ k \in \left\langle -1, 6 \frac{1}{5} \right\rangle}\)?

[loitzl9006]

Tak by było jak by należał do koła

[Ania221]

Zwróć uwagę na doprecyzowanie brzegów figury.
Twoje proste mogą się przecinać we wnętrzu prostokąta, czyli bez brzegów=nierówność ostra, lub należeć do prostokąta, czyli z brzegami=nierówność nieostra.
Podobnie z tym okręgiem, okrąg to jest wyłącznie obwódka koła.