Płaszczyzny oddalone od wierzchołków czworościanu

[Marti44]

Wypisać równania wszystkich płaszczyzn jednakowo oddalonych od wierzchołków czworościanu wyznaczonego przez płaszczyzny układu współrzędnych i przez płaszczyznę o równaniu \(\displaystyle{ x+y+z=4}\).

[norwimaj]

Tych płaszczyzn jest w sumie \(\displaystyle{ 7}\). Cztery z nich są równoległe do ścian czworościanu, więc łatwo je znaleźć. Na przykład wyznaczę szukaną płaszczyznę równoległą do ściany \(\displaystyle{ x+y+z=4}\). Płaszczyzna równoległa, przechodząca przez czwarty wierzchołek, ma równanie \(\displaystyle{ x+y+z=0}\). Teraz wystarczy obliczyć średnią liczb \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 0}\). Szukana płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ x+y+z=2}\). Są jeszcze trzy płaszczyzny takie, że do każdej z nich są równoległe dwie przeciwległe krawędzie czworościanu. W ich wyznaczeniu może być pomocny iloczyn wektorowy.