Rzut punktu, płaszczyzna, punkt symetryczny.

[Teson]

Mam problem z takim o to zadaniem:

Znaleźć rzut punktu \(\displaystyle{ P(3,-2,4)}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi:5x+3y-7z+1=0}\) oraz jego symetryczne odbicie względem podanej płaszczyzny.

Nie spotkałem się osobiście wcześniej z takim zadaniem i nie wiem nawet jak zacząć. Jedynie to bym pomnożył coś tu wektorowo, ale co to da i czy jest sens tego nie wiem.
Będę wdzięczny za pomoc.

[szw1710]

Szukasz równania prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Wektor równoległy masz za darmo. Niech punktem przecięcia płaszczyzny i prostej będzie \(\displaystyle{ O}\). Wtedy punkt symetryczny \(\displaystyle{ P'}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ \overrightarrow{PP'}=2\overrightarrow{PO}}\). Albo równoważnie: \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PP'}\), co oznacza, że współrzędne punktu \(\displaystyle{ O}\) są średnimi arytmetycznymi współrzędnych punktu \(\displaystyle{ P(3,-2,4)}\) i \(\displaystyle{ P'(x,y,z)}\).

[Teson]

No to liczę:

Szukasz równania prostej prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\). Wektor równoległy masz za darmo.

Ten wektor równoległy to : \(\displaystyle{ [5,3,-7]}\)
Równanie prostej przechodzącej przez punkt P będzie miał postać:
\(\displaystyle{ \frac{x-3}{5} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-4}{-7}}\)

Jest to postać kanoniczna prostej inaczej mówiąc, kierunkowa.
Przechodzę na postać parametryczną.

\(\displaystyle{ L:\left\{\begin{array}{l} x=5t+3 \\y=3t-2\\ z=-7t+4\end{array} \ gdzie \ \ t \in R}\)

Wyliczam parametr t, podstawiając liczby pod płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi:5x+3y-7z+1=0}\)

\(\displaystyle{ 5 \cdot (5t+3) + 3 \cdot (3t-2) -7 \cdot (-7t+4)+1=0}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{18}{83}}\)
Podstawiam wartość \(\displaystyle{ t}\) do mojej postaci parametrycznej
i wychodzi mi punkt przebicia prostej z płaszczyzną, czyli nasz punkt \(\displaystyle{ O: \left( \frac{339}{83} , \frac{-112}{83} , \frac{206}{83}\right)}\)

Czy do tego momentu zadanie zostało wykonane przeze mnie prawidłowo ? Wszystko rozpisywałem, żeby wiedzieć gdzie jest ewentualny błąd oraz dzięki temu bardziej rozumiem to zadanie. Ale nie wiem czy idę w dobrym kierunku.
Dziękuję ogólnie za odpowiedź w temacie.

[szw1710]

Dobrze robisz.

[Teson]

Mhm fajnie, już wiem o co chodzi.

Wstawiam rysunek poglądowy, który myślę przedstawia moje zadanie:




Teraz tak.
Policzę punkt symetryczny do tej płaszczyzny, lecz skorzystam z tej drugiej opcji, którą podałeś.
Więc tak.

Mój punkt \(\displaystyle{ P}\) wynosi \(\displaystyle{ (3,-2,4)}\), a punkt \(\displaystyle{ O}\) (punkt przebicia płaszczyzny) wynosi: \(\displaystyle{ \left( \frac{339}{83} , \frac{-112}{83} , \frac{206}{83}\right)}\).

Punkt \(\displaystyle{ P'}\) to będzie:

\(\displaystyle{ \frac{3+x'}{2}= \frac{339}{83}}\) , czyli \(\displaystyle{ x' = \frac{429}{83}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-2+y'}{2}= \frac{-112}{83}}\), czyli \(\displaystyle{ y'= \frac{-58}{83}}\)
\(\displaystyle{ \frac{4+z'}{2} = \frac{206}{83}}\), czyli \(\displaystyle{ z'= \frac{80}{83}}\)

\(\displaystyle{ P'=(\frac{429}{83}, \frac{-58}{83} , \frac{80}{83} )}\)
Reasumując całe zadanie.
Odpowiedź brzmiałaby:
Rzut punktu \(\displaystyle{ P}\) na podaną w zadaniu płaszczyznę wynosi \(\displaystyle{ O:\left( \frac{339}{83} , \frac{-112}{83} , \frac{206}{83}\right)}\), a symetryczne odbicie tego punktu względem podanej płaszczyzny wynosi:\(\displaystyle{ P'=(\frac{429}{83}, \frac{-58}{83} , \frac{80}{83} )}\)

Czy zadanie do końca jest dobrze zrobione ?

[szw1710]

Oczywiście nie sprawdzałem szczegółowo rachunków. Metoda poprawna.

[Teson]

Fakt, rachunki tutaj nie są zbyt fajne. Znaczy nie tyle, że trudne coś, tylko czasochłonne, ale sprawdzałem też za pomocą kalkulatora i było ok. Najważniejsze, że jest dobra metoda dobrana. Dziękuję za pomoc.