Nie mam pomysłu na to zadanie.
Zadanie brzmi:
Napisać równanie płaszczyzny zawierającej oś \(\displaystyle{ OY}\) i równoległej do prostej
\(\displaystyle{ l:\begin{cases} x+2z=0\\y-3z+2=0\end{cases}}\)
Będę wdzięczny za sugestie, rozwiązanie tego zadania, bo czasu niestety mało.
Równanie płaszczyzny.
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Równanie płaszczyzny.
Będę korzystał z faktu: Prosta o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ [a,b,c]}\) jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ Ax + By + Cz + D = 0}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ Aa + Bb + Cc = 0}\).
Szukamy równania płaszczyzny \(\displaystyle{ P: Ax + By + Cz + D = 0}\). P zawiera środek układu czyli \(\displaystyle{ D = 0}\). Dalej, P zawiera oś OY czyli jest równoległa do OY czyli \(\displaystyle{ B = 0}\).
Czyli mamy: P: \(\displaystyle{ Ax + Cz = 0}\).
Prosta l jest przekrojem dwóch płaszczyzn. Współrzędne wektora kierunkowego prostej l to wspolrzedne wektora który jest iloczynem wektorowym wektorów normalnych tych dwóch płaszczyzn(wektor normalny odczytujemy z równania płaszczyzny, po prostu [A,B,C]).
a = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}0&2 \\ 1 &-3 \end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ = -2}\)
b = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&2 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ = -3}\)
c = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ = 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ -2A -3B + 1C = 0}\), czyli \(\displaystyle{ C = 2A}\)
P: \(\displaystyle{ Ax + 2Az = 0}\)
P: \(\displaystyle{ x + 2z = 0}\).
Szukamy równania płaszczyzny \(\displaystyle{ P: Ax + By + Cz + D = 0}\). P zawiera środek układu czyli \(\displaystyle{ D = 0}\). Dalej, P zawiera oś OY czyli jest równoległa do OY czyli \(\displaystyle{ B = 0}\).
Czyli mamy: P: \(\displaystyle{ Ax + Cz = 0}\).
Prosta l jest przekrojem dwóch płaszczyzn. Współrzędne wektora kierunkowego prostej l to wspolrzedne wektora który jest iloczynem wektorowym wektorów normalnych tych dwóch płaszczyzn(wektor normalny odczytujemy z równania płaszczyzny, po prostu [A,B,C]).
a = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}0&2 \\ 1 &-3 \end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ = -2}\)
b = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&2 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ = -3}\)
c = \(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ = 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ -2A -3B + 1C = 0}\), czyli \(\displaystyle{ C = 2A}\)
P: \(\displaystyle{ Ax + 2Az = 0}\)
P: \(\displaystyle{ x + 2z = 0}\).
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Równanie płaszczyzny.
Ciut innaczej:
Podobnie jak sebnorth, wyliczam wektor kierunkowy prostej jako iloczyn wektorowy normalnych w równaniu krawędziowym. Wynosi on \(\displaystyle{ \vec{k}=\left[ -2; 3;1\right]}\) ( kolega sebnorth, zapomniał o minusie, ale to nie wpływło na jego dalsze obliczenia).
Innym wektorem leżącym w szukanej płaszczyźnie może być wersor \(\displaystyle{ \vec{j}=\left[ 0; 1;0\right]}\). Wektor normalny szukanej płaszczyzny to iloczyn wektorowy tych wektorów (bo nie są równoległe). Wynosi on \(\displaystyle{ \vec{n}=\left[ -1; 0;-2\right]}\). Równanie plaszczyzny to:
\(\displaystyle{ -1x+0y-2z+D=0}\). Wstawiając wspolrzędne początku układu (który też leży na OY) masz:
\(\displaystyle{ \pi : -x-2z=0}\) .
Jak pomnożysz je przez -1 to dostaniesz równanie z poprzedniego postu.
Ps. Wersja dla supercwaniaków:
Zauważam że pierwsza płaszczyzna w równaniu krawedziowym prostej zawiera oś OY i dlatego to ona jest rozwiazaniem zadania.
-- 13 wrz 2014, o 20:37 --
Iloczyn \(\displaystyle{ AB \circ u}\) znajduje na prostej zadanej krawędziowo punkt który ze srodkiem układu współrzędnych daje wektor prostopadły do kierunkowego prostej. I wyliczone zostały jego współrzędne dla wyliczonego t. Reszta (od równania płaszczyzny) jest.... hm, błędna.
Podobnie jak sebnorth, wyliczam wektor kierunkowy prostej jako iloczyn wektorowy normalnych w równaniu krawędziowym. Wynosi on \(\displaystyle{ \vec{k}=\left[ -2; 3;1\right]}\) ( kolega sebnorth, zapomniał o minusie, ale to nie wpływło na jego dalsze obliczenia).
Innym wektorem leżącym w szukanej płaszczyźnie może być wersor \(\displaystyle{ \vec{j}=\left[ 0; 1;0\right]}\). Wektor normalny szukanej płaszczyzny to iloczyn wektorowy tych wektorów (bo nie są równoległe). Wynosi on \(\displaystyle{ \vec{n}=\left[ -1; 0;-2\right]}\). Równanie plaszczyzny to:
\(\displaystyle{ -1x+0y-2z+D=0}\). Wstawiając wspolrzędne początku układu (który też leży na OY) masz:
\(\displaystyle{ \pi : -x-2z=0}\) .
Jak pomnożysz je przez -1 to dostaniesz równanie z poprzedniego postu.
Ps. Wersja dla supercwaniaków:
Zauważam że pierwsza płaszczyzna w równaniu krawedziowym prostej zawiera oś OY i dlatego to ona jest rozwiazaniem zadania.
-- 13 wrz 2014, o 20:37 --
Iloczyn \(\displaystyle{ AB \circ u}\) znajduje na prostej zadanej krawędziowo punkt który ze srodkiem układu współrzędnych daje wektor prostopadły do kierunkowego prostej. I wyliczone zostały jego współrzędne dla wyliczonego t. Reszta (od równania płaszczyzny) jest.... hm, błędna.