Pokazać, że cztery płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej

[inzynierka_94]

Pokazać, że cztery płaszczyzny o równaniach:

\(\displaystyle{ H _{1} : 2x + 2y + z + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ H _{2} : x + 4y - z + 2 = 0}\)
\(\displaystyle{ H _{3} : x - y + 2z - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ H _{4} : x + 2y = -1}\)

Przecinają się wzdłuż prostej. Znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ A( 3, -1, -2)}\) od tej prostej. Wiem, że trzeba rozwiązać układ równań utworzony z tych czterech równań płaszczyzn i wyznaczyć ich punkt przecięcia. Jednocześnie będzie to punkt należący do prostej, którą trzeba wyznaczyć. Potrzebuje również wektora kierunkowego tej prostej i tu pojawia się mój problem, bo nie jestem pewna jak to zrobić. Myślałam o tym żeby pomnożyć wektorowo wektory normalne dwóch dowolnych płaszczyzn z tych czterech, ale nie wiem czy to dobre rozwiązanie, bo biorąc dwa inne wychodzi mi inny wektor kierunkowy.

Bardzo proszę o podpowiedź jak to z tym wektorem kierunkowym prostej, bo dalej wzór na odległość znam.

[miodzio1988]

rozwiaz zatem ten uklad rownan i z postaci prostej juz wszystko masz

[inzynierka_94]

Po rozwiązaniu układu wychodzą mi punkt x,y,z, w którym się te płaszczyzny przecinają. A równanie prostej muszę wyznaczyć.

[kerajs]

Myślałam o tym żeby pomnożyć wektorowo wektory normalne dwóch dowolnych płaszczyzn z tych czterech, ale nie wiem czy to dobre rozwiązanie, bo biorąc dwa inne wychodzi mi inny wektor kierunkowy.

To dobry pomysł (z mnożeniem wektorów noirmalnych)o ile wpierw stwierdzisz że że te cztery płaszczyzny mają jedną wspólną krawędź (lub tworzą pęk płaszczyzn)

Jeśli wychodzą ci różne wektory które nie są do siebie proporcjonalne to płaszczyzny nie maja wspolnej prostej.

Rada.
Utwórz układ równań z dwóch płaszczyzn. Dobierz sobie dowolną wartość x i dla niej rozwiąż układ. Otzrymasz punkt wspólny tych płaszczyzn. Analogicznie wyznacz inny punkt. Potem sprawdź czy oba należą do pozostałych dwóch płaszczyzn. Jaśli tak to z nich oblicz sobie wektor kierunkowy szukanej prostej

Rada Miodzia też jest dobra.
Jeśli te cztery płaszczyzny mają wspólną prostą to dwie z nich są liniowo zależne od pozostałych. Wtedy układ czterch równań z trzema niewiadomymi zredukuje się do układu dwóch rónań co jest postacią krawędziową prostej. I z nich wyznaczasz jej wektor kierunkowt. Punkt zaczepienia wyliczysz dobierając sobie dowolna wartość np zmiennej x.

[inzynierka_94]

A nie wynika z treści zadania? " Pokazać, że cztery płaszczyzny o równaniach... przecinają się wzdłuż prostej." To tak jakby odgórnie mam narzucone, że one maja wspólną prostą.

Ale ok spróbuje wykorzystać Twoją rade