rozwiązanie równania płaszczyzny

[awdesq]

Napisz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny która przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ P1=(1,1,1),P2=(-1,0,1),P3=(5,6,7)}\)
oraz punkt przebicia tej płaszczyzny prostą \(\displaystyle{ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \frac{z+1}{-2}}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \vec{P1P2}}\)\(\displaystyle{ =\left[ -2,-1,0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P1P3}}\)\(\displaystyle{ =\left[ 4,5,6\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ -2,-1,0\right]}\)\(\displaystyle{ x}\)\(\displaystyle{ \left[ 4,5,6\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[ -6,12,-6\right]}\)
i jaki następny krok wykonać

[kerajs]

Masz już wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}= [-6,12,-6]}\)
Stąd równanie ogólne prostej to
\(\displaystyle{ \pi :-6x+12y-6z+D=0}\)
Wstaw jeden ze znanych punktów do równania płaszczyzny i wylicz D.

Postac parametryczna prostej to układ równań
\(\displaystyle{ x=x _{0}+sx _{u}+t x _{v}}\)
\(\displaystyle{ y=y _{0}+sy _{u}+t y _{v}}\)
\(\displaystyle{ z=z _{0}+sz _{u}+t z _{v}}\)
gdzie \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0},z _{0})}\) to punkt płaszczyzny rozpiętej na wektorach \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\)
Już je masz, wiec wystarczy wstawić je do układu równań

Punkt przebicia to część współna prostej i płaszczyzny. Rozwiąż układ równań zawierający postać ogólną płaszczyzny i dwa równania z proporcji podwójnej prostej.

[awdesq]

Wyznaczając \(\displaystyle{ D}\) podstawiłem \(\displaystyle{ P1}\):
\(\displaystyle{ -6 \cdot 1+12 \cdot 1-6 \cdot 1=0}\)
\(\displaystyle{ D=0}\)
dalej zupełnie nie rozumiem co wstawić w równaniu
\(\displaystyle{ x=-6+ ???}\)
\(\displaystyle{ y=12+???}\)
\(\displaystyle{ z=-6+???}\)
Nie jestem orłem z matematyki więc byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi to wytłumaczył "łopatologicznie " bo nie jest jednoznaczne dla mnie Rozwiąż układ równań zawierający postać ogólną płaszczyzny i dwa równania z proporcji podwójnej prostej.

[kerajs]

Sądzę, że kwestia leży bardziej w niechęci do rozumienia tego działu niż w umiejętnościach.

Co do równania parzmetrycznego płaszczyzny to możesz sobie przyjąć że Punkt zaczepienia płaszczyzny to P1, a wektory (nierównoległe) z tej płaszczyzny to
\(\displaystyle{ \vec{P1P2}}\)\(\displaystyle{ =\left[ -2,-1,0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P1P3}}\)\(\displaystyle{ =\left[ 4,5,6\right]}\)
s i t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Wystarczy powyższe wstawić do równania parametrycznego (układu równań który napisałem)


Punkt przebicia masz z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6x+12y-6z=0 \\ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \\ \frac{x-1}{-1} =\frac{z+1}{-2}\end{cases}}\)

[awdesq]

Czyli postać parametryczna bedzie miała taką postać ?
\(\displaystyle{ x=1-2s+4t}\)
\(\displaystyle{ y=1-1s+5t}\)
\(\displaystyle{ z=1+6t}\)

[kerajs]

Si

[awdesq]

ok Hmm a czy z tego układu równań w którym będę liczył punkt przebicia idzie coś zrobic żeby wyjść na coś mniej skomplikowanego bo aktualnie nie mam pomysłu jak się za to zabrać. Zapewne muszę przekształcić równanie ogólne płaszczyzny na taką postać \(\displaystyle{ x=2y+z}\) ale czy to wystarczy i mogę odrazu podstawiać do równań poniżej ?

[kerajs]

Po wyliczeniu D dostałeś postać ogólną płaszczyzny.

Rozwiązywanie układu równań nie jest trudne. Na pewno znasz metodę podstwiania.
Aby sobie ułatwić pierwsze równanie podziel stronami przez 6 a w dwóch pozostałych pozbądź się ułamków (mnożąc na krzyż jak w proporcji)

[awdesq]

Proszę o sprawdzenie
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6x+12y-6z=0 \\ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \\ \frac{x-1}{-1} =\frac{z+1}{-2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2y-z\\ 0=-y+3 \\ -2x+2=-z-1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2y-z\\ y=3 \\ z=2x-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6-z\\ y=3 \\ z=2 \cdot (6-z)-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6-z\\ y=3 \\ 3z=9/:3\end{cases}}\)
z=3
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3\\ y=3 \\z=3\end{cases}}\)

[kerajs]

Sorry , Twój punkt nie należy do płaszczyzny.

Błąd jest w drugim układzie równań
powinno9 być:
\(\displaystyle{ x=2y-z}\)

[awdesq]

Czy to jest prawidłowe rozwiązanie które przedstawiłem powyżej ?

[kerajs]

Tak.

Na jakimś forum widziałem w menu gif ze sztucznymi ogniami. Taki powinien się pojawić po ,,Tak'

[awdesq]

Hehe wielkię dzięki mistrzu