rozwiązanie równania płaszczyzny
-
- Użytkownik
- Posty: 131
- Rejestracja: 27 lis 2008, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ł-ca
- Podziękował: 2 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Napisz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny która przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ P1=(1,1,1),P2=(-1,0,1),P3=(5,6,7)}\)
oraz punkt przebicia tej płaszczyzny prostą \(\displaystyle{ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \frac{z+1}{-2}}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \vec{P1P2}}\)\(\displaystyle{ =\left[ -2,-1,0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P1P3}}\)\(\displaystyle{ =\left[ 4,5,6\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ -2,-1,0\right]}\)\(\displaystyle{ x}\)\(\displaystyle{ \left[ 4,5,6\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[ -6,12,-6\right]}\)
i jaki następny krok wykonać
oraz punkt przebicia tej płaszczyzny prostą \(\displaystyle{ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \frac{z+1}{-2}}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \vec{P1P2}}\)\(\displaystyle{ =\left[ -2,-1,0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P1P3}}\)\(\displaystyle{ =\left[ 4,5,6\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[ -2,-1,0\right]}\)\(\displaystyle{ x}\)\(\displaystyle{ \left[ 4,5,6\right]}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[ -6,12,-6\right]}\)
i jaki następny krok wykonać
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Masz już wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n}= [-6,12,-6]}\)
Stąd równanie ogólne prostej to
\(\displaystyle{ \pi :-6x+12y-6z+D=0}\)
Wstaw jeden ze znanych punktów do równania płaszczyzny i wylicz D.
Postac parametryczna prostej to układ równań
\(\displaystyle{ x=x _{0}+sx _{u}+t x _{v}}\)
\(\displaystyle{ y=y _{0}+sy _{u}+t y _{v}}\)
\(\displaystyle{ z=z _{0}+sz _{u}+t z _{v}}\)
gdzie \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0},z _{0})}\) to punkt płaszczyzny rozpiętej na wektorach \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\)
Już je masz, wiec wystarczy wstawić je do układu równań
Punkt przebicia to część współna prostej i płaszczyzny. Rozwiąż układ równań zawierający postać ogólną płaszczyzny i dwa równania z proporcji podwójnej prostej.
Stąd równanie ogólne prostej to
\(\displaystyle{ \pi :-6x+12y-6z+D=0}\)
Wstaw jeden ze znanych punktów do równania płaszczyzny i wylicz D.
Postac parametryczna prostej to układ równań
\(\displaystyle{ x=x _{0}+sx _{u}+t x _{v}}\)
\(\displaystyle{ y=y _{0}+sy _{u}+t y _{v}}\)
\(\displaystyle{ z=z _{0}+sz _{u}+t z _{v}}\)
gdzie \(\displaystyle{ (x _{0},y _{0},z _{0})}\) to punkt płaszczyzny rozpiętej na wektorach \(\displaystyle{ \vec{u}, \vec{v}}\)
Już je masz, wiec wystarczy wstawić je do układu równań
Punkt przebicia to część współna prostej i płaszczyzny. Rozwiąż układ równań zawierający postać ogólną płaszczyzny i dwa równania z proporcji podwójnej prostej.
-
- Użytkownik
- Posty: 131
- Rejestracja: 27 lis 2008, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ł-ca
- Podziękował: 2 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Wyznaczając \(\displaystyle{ D}\) podstawiłem \(\displaystyle{ P1}\):
\(\displaystyle{ -6 \cdot 1+12 \cdot 1-6 \cdot 1=0}\)
\(\displaystyle{ D=0}\)
dalej zupełnie nie rozumiem co wstawić w równaniu
\(\displaystyle{ x=-6+ ???}\)
\(\displaystyle{ y=12+???}\)
\(\displaystyle{ z=-6+???}\)
Nie jestem orłem z matematyki więc byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi to wytłumaczył "łopatologicznie " bo nie jest jednoznaczne dla mnie Rozwiąż układ równań zawierający postać ogólną płaszczyzny i dwa równania z proporcji podwójnej prostej.
\(\displaystyle{ -6 \cdot 1+12 \cdot 1-6 \cdot 1=0}\)
\(\displaystyle{ D=0}\)
dalej zupełnie nie rozumiem co wstawić w równaniu
\(\displaystyle{ x=-6+ ???}\)
\(\displaystyle{ y=12+???}\)
\(\displaystyle{ z=-6+???}\)
Nie jestem orłem z matematyki więc byłbym wdzięczny gdyby ktoś mi to wytłumaczył "łopatologicznie " bo nie jest jednoznaczne dla mnie Rozwiąż układ równań zawierający postać ogólną płaszczyzny i dwa równania z proporcji podwójnej prostej.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Sądzę, że kwestia leży bardziej w niechęci do rozumienia tego działu niż w umiejętnościach.
Co do równania parzmetrycznego płaszczyzny to możesz sobie przyjąć że Punkt zaczepienia płaszczyzny to P1, a wektory (nierównoległe) z tej płaszczyzny to
\(\displaystyle{ \vec{P1P2}}\)\(\displaystyle{ =\left[ -2,-1,0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P1P3}}\)\(\displaystyle{ =\left[ 4,5,6\right]}\)
s i t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Wystarczy powyższe wstawić do równania parametrycznego (układu równań który napisałem)
Punkt przebicia masz z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6x+12y-6z=0 \\ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \\ \frac{x-1}{-1} =\frac{z+1}{-2}\end{cases}}\)
Co do równania parzmetrycznego płaszczyzny to możesz sobie przyjąć że Punkt zaczepienia płaszczyzny to P1, a wektory (nierównoległe) z tej płaszczyzny to
\(\displaystyle{ \vec{P1P2}}\)\(\displaystyle{ =\left[ -2,-1,0\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{P1P3}}\)\(\displaystyle{ =\left[ 4,5,6\right]}\)
s i t są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Wystarczy powyższe wstawić do równania parametrycznego (układu równań który napisałem)
Punkt przebicia masz z układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6x+12y-6z=0 \\ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \\ \frac{x-1}{-1} =\frac{z+1}{-2}\end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 131
- Rejestracja: 27 lis 2008, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ł-ca
- Podziękował: 2 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Czyli postać parametryczna bedzie miała taką postać ?
\(\displaystyle{ x=1-2s+4t}\)
\(\displaystyle{ y=1-1s+5t}\)
\(\displaystyle{ z=1+6t}\)
\(\displaystyle{ x=1-2s+4t}\)
\(\displaystyle{ y=1-1s+5t}\)
\(\displaystyle{ z=1+6t}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 131
- Rejestracja: 27 lis 2008, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ł-ca
- Podziękował: 2 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
ok Hmm a czy z tego układu równań w którym będę liczył punkt przebicia idzie coś zrobic żeby wyjść na coś mniej skomplikowanego bo aktualnie nie mam pomysłu jak się za to zabrać. Zapewne muszę przekształcić równanie ogólne płaszczyzny na taką postać \(\displaystyle{ x=2y+z}\) ale czy to wystarczy i mogę odrazu podstawiać do równań poniżej ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Po wyliczeniu D dostałeś postać ogólną płaszczyzny.
Rozwiązywanie układu równań nie jest trudne. Na pewno znasz metodę podstwiania.
Aby sobie ułatwić pierwsze równanie podziel stronami przez 6 a w dwóch pozostałych pozbądź się ułamków (mnożąc na krzyż jak w proporcji)
Rozwiązywanie układu równań nie jest trudne. Na pewno znasz metodę podstwiania.
Aby sobie ułatwić pierwsze równanie podziel stronami przez 6 a w dwóch pozostałych pozbądź się ułamków (mnożąc na krzyż jak w proporcji)
-
- Użytkownik
- Posty: 131
- Rejestracja: 27 lis 2008, o 19:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ł-ca
- Podziękował: 2 razy
rozwiązanie równania płaszczyzny
Proszę o sprawdzenie
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6x+12y-6z=0 \\ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \\ \frac{x-1}{-1} =\frac{z+1}{-2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2y-z\\ 0=-y+3 \\ -2x+2=-z-1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2y-z\\ y=3 \\ z=2x-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6-z\\ y=3 \\ z=2 \cdot (6-z)-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6-z\\ y=3 \\ 3z=9/:3\end{cases}}\)
z=3
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3\\ y=3 \\z=3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6x+12y-6z=0 \\ \frac{x-1}{-1}= \frac{y-3}{0} \\ \frac{x-1}{-1} =\frac{z+1}{-2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2y-z\\ 0=-y+3 \\ -2x+2=-z-1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2y-z\\ y=3 \\ z=2x-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6-z\\ y=3 \\ z=2 \cdot (6-z)-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=6-z\\ y=3 \\ 3z=9/:3\end{cases}}\)
z=3
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=3\\ y=3 \\z=3\end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 2 wrz 2014, o 11:45 przez awdesq, łącznie zmieniany 1 raz.