punkt symetryczny względem prostej

[agnieszka92]

Punktem symetrycznym do punktu \(\displaystyle{ P=(0,1,3)}\) względem prostej \(\displaystyle{ l: \frac{x+1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-5}{3}}\) jest punkt
A. \(\displaystyle{ (1,1,0)}\)
B. \(\displaystyle{ (0,-1,7)}\)
C. \(\displaystyle{ (0,-\frac{1}{2},\frac{7}{2})}\)
D. \(\displaystyle{ (-1,-1,0)}\)

Zaczęłam od zapisania równania prostej w postaci parametrycznej:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=-2t-1\\y=t\\z=3t+5\end{cases}, t \in R}\)
Następnie wyznaczyłam punkt \(\displaystyle{ S}\), będący rzutem prostopadłym punku \(\displaystyle{ P}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\), korzystając z faktu, że wektor \(\displaystyle{ PS=[-2t,t-1,3t+2]}\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ r=[-2,1,3]}\) wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn skalarny tych dwóch wektorów wynosi 0. Otrzymałam, że jest tak dla \(\displaystyle{ t=-\frac{1}{2}}\), a zatem \(\displaystyle{ S=\left(0,-\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)}\), a \(\displaystyle{ PS=\left[0,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right]}\). Na koniec przesunęłam punkt \(\displaystyle{ S}\) o wektor \(\displaystyle{ PS}\) i otrzymałam punkt \(\displaystyle{ P'=(0,-2,4)}\) będący punktem symetrycznym do \(\displaystyle{ P}\) względem prostej \(\displaystyle{ l}\). Niestety nie ma takiej odpowiedzi, dlatego mam pytanie, czy w moim rozumowaniu jest jakiś błąd (ewentualnie w obliczeniach) czy też błąd jest w treści zadania?

[janusz47]

Napisz najpierw równanie płaszczyzny\(\displaystyle{ \pi}\), przechodzącej przez punkt P i prostopadłej do prostej l.
Następnie znajdź współrzędne punktu S przebicia prostej l z płaszczyzną .

[a4karo]

Wektor \(\displaystyle{ PS}\) jest żle obliczony. Twój sposób, w mojej ocenie, jest ładniejszy niż ten proponowany przez janusz47

[agnieszka92]

Wektor \(\displaystyle{ PS}\) wyznaczam następująco: od współrzędnych punktu \(\displaystyle{ S}\) odejmuje współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\), czyli \(\displaystyle{ PS=\left[0-0,-\frac{1}{2}-1,\frac{7}{2}-3\right]=\left[0,-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right]}\). Co tutaj jest nie tak?

[janusz47]

Współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{PS}}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ t}\)wyznaczyłaś poprawnie.
Jeśli rozwiążesz zadanie metodą, którą zaproponowałem, to
płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) - prostopadła do prostej l i przechodząca przez punkt P określona jest równaniami:
\(\displaystyle{ -2(x-0)+1(y-1)+3(z-3)=0}\)
\(\displaystyle{ -2x +y+ 3z -10=0}\)
Parametr \(\displaystyle{ t}\) wspólny dla prostej i płaszczyzny:
\(\displaystyle{ t= -\frac{1}{2}}\)
Współrzędne punktu przebicia płaszczyzny prostą:
\(\displaystyle{ S= \left( 0,-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)}\)
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ P'}\)- symetrycznego względem prostej l:
\(\displaystyle{ \left( 0, -2, 4\right).}\)
Zadanie rozwiązałaś więc poprawnie.

[a4karo]

Skoro \(\displaystyle{ S(t)=(-2t-1, t, 3t+5)}\) to \(\displaystyle{ \vec{PS(t)}=[-2t-1, t-1,3t+2]}\). (U ciebie pierwszą współrzędną jest -2t)
Ten wektor musi być prostopadły do \(\displaystyle{ [-2,1,3]}\) (i tu już liczysz z -2t-1 )

Poza tym rachunki są ok.
W odpowiedzi mylnie podano współrzędne punktu \(\displaystyle{ S}\).

[agnieszka92]

No przez przypadek źle napisałam, miało być tam tak jak Ty podaleś. ;> Dzięki za pomoc. ;>