Stosunek podziału odcinka skierowanego, tzw. złoty środek.

[monisia7272]

Bardzo proszę o pomoc. Na moich pozostałych postach są też zadania z którymi miałam problem. Bardzo proszę o szczegółowe rozwiązania.

Zad 1. Niech dane będą różne punkty A,B. Udowodnić, że dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ \lambda\neq-1}\) istnieje dokładnie jeden punkt \(\displaystyle{ X \in AB}\) , dla którego [AXB]=\(\displaystyle{ \lambda}\).

Zad 2. Udowodnić, że pęk \(\displaystyle{ P _{AB}}\) jest maksymalną rodziną współosiową okręgów. Czyli, że nie da się do niego dorzucić żadnego dodatkowego okręgu z zachowaniem własności współliniowości.

[matmatmm]

Co to jest \(\displaystyle{ [AXB]}\) ? \(\displaystyle{ \frac{AX}{BX}}\) ? Jeśli tak, to takie punkty na prostej \(\displaystyle{ AB}\) są dwa.

[monisia7272]

\(\displaystyle{ [AXB]=\frac{|AX|}{|XB|}}\) , gdy \(\displaystyle{ X \in AB}\)
\(\displaystyle{ [AXB]=- \frac{|AX|}{|XB|}}\) , gdy \(\displaystyle{ X \not\in AB}\)

[matmatmm]

Należy skorzystać z następującej własności

Dla dowolnej półprostej o początku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i dowolnej liczby \(\displaystyle{ a>0}\) istnieje dokładnie jeden punkt \(\displaystyle{ P}\) należący do tej półprostej taki, że \(\displaystyle{ OP=a}\).

i rozważyć 3 przypadki.

Dla przykładu zrobię pierwszy. Załóżmy, że \(\displaystyle{ X\in AB}\).

\(\displaystyle{ \frac{ AX }{XB}=\lambda \iff}\)
\(\displaystyle{ \frac{AB- XB}{XB}=\lambda \iff}\)
\(\displaystyle{ \frac{AB}{XB}-1=\lambda \iff}\)
\(\displaystyle{ \frac{AB}{XB}=\lambda+1 \iff}\)
\(\displaystyle{ XB=\frac{AB}{\lambda +1}}\)

Na mocy cytowanej wcześniej własności zastosowanej do półprostej \(\displaystyle{ BA}\) i \(\displaystyle{ a=\frac{AB}{\lambda +1}}\) istnieje dokładnie jeden punkt \(\displaystyle{ X}\) taki, że \(\displaystyle{ BX=\frac{AB}{\lambda +1}}\), a jak pokazałem jest to równoważne tezie.

[monisia7272]

Dziękuję bardzo za pomoc. A umiesz może rozwiązać któreś z pozostałych zadań w moich postach? Byłabym bardzo wdzięczna.