Cztery płaszczyzny w jednym punkcie

[matematyk147]

Jak w temacie. Wiecie może jaki warunek musi być spełniony, aby 4 płaszczyzny przecinały się w jednym punkcie?

Dla trzech płaszczyzn wiem że wyznacznik współczynników musi być różny od zera, ale przy 4 już się gubię.

Dzięki za pomoc

[szw1710]

A czy w ogóle da się to zrealizować? To, że trzy płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, wynika z liniowej niezależności wektorów prostopadłych (właśnie to niezerowanie się wyznacznika). Czwarty wektor jest liniowo zależny z każdymi trzema. Tak więc czwarta płaszczyzna tnie się przynajmniej jedną płaszczyzną przynajmniej wzdłuż prostej.

[matematyk147]

Treść zadania jest taka, pokaż że cztery płaszczyzny o równaniach \(\displaystyle{ 2x+y-z-2=0 , x+3y-z-5=0, 2x+3y+3z-14=0, x+y-5z+7=0}\) przecinają się w jednym punkcie.

[szw1710]

Zastosuj LaTeX.

Masz rację - układ jest oznaczony. Czwarte równanie jest zależne z pozostałymi trzema. Zauważ, że rząd macierzy rozszerzonej układu wynosi \(\displaystyle{ 3}\). Będzie to warunek wystarczający.

[matematyk147]

Czyli mam policzyć na początku rząd tych równań, pokazać że (np 3 i 4) są zależne i potem liczyć wyznacznik 3x3?

[szw1710]

Macierz główna jest \(\displaystyle{ 4\times 3}\), więc ma rząd maksymalnie trzy. Żeby układ \(\displaystyle{ 4}\) równań z \(\displaystyle{ 3}\) niewiadomymi był oznaczony, musisz mieć, że rząd macierzy uzupełnionej też jest \(\displaystyle{ 3}\). Sam sposób liczenia rzędu jest już sprawą techniczną.

Myślę, że nie do końca dobrze podałem ten warunek: rzędy macierzy głównej i rozszerzonej muszą oba być równe \(\displaystyle{ 3}\) i w tym momencie macierz główna ma mieć rząd maksymalny.

Kwestia, co się dzieje, gdy któryś z tych warunków nie zachodzi. Zbadaj to.

[matematyk147]

macierz uzupełniona, chodzi Ci o to że dopisuje wyraz wolny i szukam minora o stopniu 3, tak ?

[szw1710]

Tak.

[matematyk147]

Ok dzięki .