objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

[Dasio11]

Dla punktu masz \(\displaystyle{ a=0}\), więc \(\displaystyle{ 0^0}\). Jest to symbol nieoznaczony.

A dlaczego nie \(\displaystyle{ a=1}\) ? Czy jest jakiś wymiar sześcianu zerowymiarowego, który nie ma długości \(\displaystyle{ 1}\) ?

Jeśli teraz objętość potraktujemy jako miarę Lebesgue'a, to ta miara jest zerowa na zbiorach jednopunktowych.

A dlaczego? Chodzi przecież o zerowymiarową miarę Lebesgue'a.

Czy punkt jest 0 - wymiarowym sześcianem ?

Na pewno nie, ale singleton punktu już tak.

[szw1710]

Pisałem o metryce w przestrzeni jednopunktowej. Tam jedyną sensowną odległością jest zerowa, tak więc musi być \(\displaystyle{ a=0}\).

Miara w przestrzeni jednopunktowej też jest zerowa.

[Dasio11]

Ale \(\displaystyle{ a}\) przecież nie musi być żadną odległością.


Bokiem kwadratu \(\displaystyle{ D \subseteq \RR^2}\) (o bokach równoległych do osi) można nazwać taką liczbę \(\displaystyle{ a,}\) że

\(\displaystyle{ D = \left\{ ( x, y ) \in \RR^2 : \left| x - x_0 \right| \le \frac{a}{2} \text{ oraz } \left| y - y_0 \right| \le \frac{a}{2} \right\}}\)

dla pewnego \(\displaystyle{ (x_0, y_0) \in \RR^2.}\) (Ten punkt jest wówczas środkiem kwadratu. )

Przy uogólnianiu rzeczy związanych z wymiarami zazwyczaj przyjmuje się, że

\(\displaystyle{ \RR^n = {^{ \{0, 1, \ldots, n-1 \} } \RR} = \text{zbiór wszystkich funkcji } f : \{0, 1, \ldots, n-1\} \to \RR.}\)

Według ten konwencji, odnośna równość przyjmuje postać

\(\displaystyle{ D = \left\{ f \in {^{ \{ 0, 1 \} } \RR} : \left| f(0) - F(0) \right| \le \frac{a}{2} \text{ oraz } \left| f(1) - F(1) \right| \le \frac{a}{2} \right\}}\)

dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ F : \{ 0, 1 \} \to \RR.}\)

Uogólniamy to dla naturalnych wymiarów: bokiem hipersześcianu \(\displaystyle{ n-}\) wymiarowego \(\displaystyle{ D \subseteq \RR^n}\) jest taka liczba \(\displaystyle{ a,}\) że

\(\displaystyle{ D = \left\{ f \in {^{ \{ 0, 1, \ldots, n-1 \} } \RR} : ( \forall i \in \{ 0, 1, \ldots, n-1 \} ) \left| f(i) - F(i) \right| \le \frac{a}{2} \right\}.}\)

Interpretując to dla \(\displaystyle{ n=0,}\) otrzymujemy, że bokiem kwadratu zerowymiarowego \(\displaystyle{ D}\) jest taka liczba \(\displaystyle{ a,}\) że

\(\displaystyle{ D = \left\{ f \in {^{ \varnothing } \RR} : ( \forall i \in \varnothing ) \left| f(i) - F(i) \right| \le \frac{a}{2} \right\} = \{ f_{\varnothing} \},}\)

gdzie \(\displaystyle{ f_{\varnothing}}\) oznacza funkcję pustą. Wynika nam stąd, że \(\displaystyle{ \{ f_{\varnothing} \}}\) jest kwadratem o boku \(\displaystyle{ a = 1,}\) a także \(\displaystyle{ a = \pi}\) oraz \(\displaystyle{ a = 0.}\) Ja bym nie miał skrupułów, żeby powiedzieć, że jego objętość wynosi \(\displaystyle{ a^0 = 1.}\)

[szw1710]

Formalnie - czemu nie. Dla mnie jednak to sprzeczne z intuicją. Czymże jest funkcja pusta? Podzbiorem pustym odpowiedniego iloczynu kartezjańskiego.

Mówisz, że nie potrzeba w tym uogólnianiu pojęcia odległości. Ale w tym co piszesz, jako żywo rozpoznać można metrykę maksimum. Podobnie można by wziąć taksówkową i w ten sam sposób uogólniać.

[Dasio11]

A dla mnie to jest bardzo intuicyjne.
To, że funkcja pusta jest zbiorem pustym, ma niewielkie znaczenie. W naszym kontekście jest po prostu punktem - jedynym punktem przestrzeni, o której mowa.
Nie mówię, że nie potrzeba pojęcia odległości. Mówię, że \(\displaystyle{ a}\) nie musi być odległością między żadnymi dwoma punktami.