objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: SidCom »

Czy punkt jest 0 - wymiarowym sześcianem ?

dla wymiaru 1 : objętość odcinka (1- wymiarowego sześcianu) jest jego długością \(\displaystyle{ V=a}\)

dla wymiaru 2 : objętość kwadratu (2- wymiarowego sześcianu) \(\displaystyle{ V=a \cdot a}\)

dla wymiaru 3 : objętość sześcianu (3- wymiarowego sześcianu) \(\displaystyle{ V=a \cdot a \cdot a}\)

...
dla wymiaru n : objętość hipersześcianu (n- wymiarowego sześcianu) \(\displaystyle{ V=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots = a ^{n}}\)

no i teraz:

dla wymiaru 0 : objętość punktu (0- wymiarowego sześcianu) \(\displaystyle{ V=a^{0}=1}\)
szw1710

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: szw1710 »

Dla punktu masz \(\displaystyle{ a=0}\), więc \(\displaystyle{ 0^0}\). Jest to symbol nieoznaczony.

W sensie geometrycznym przestrzeń zerowymiarowa składa się z jednego punktu i nie można tam w ogóle sensownie określać odległości punktów. Na to musisz mieć co najmniej dwa punkty. Tym niemniej w przestrzeni \(\displaystyle{ X=\{0\}}\) mamy określoną metrykę: \(\displaystyle{ d(x,y)=0}\) dla każdych \(\displaystyle{ x,y\in X}\). Nieważne, że \(\displaystyle{ x=y}\), bo \(\displaystyle{ X}\) składa się z jednego punktu. Właśnie z tego powodu zachodzi pierwszy warunek definicji metryki: \(\displaystyle{ d(x,y)=0\iff x=y}\).

Jeśli teraz objętość potraktujemy jako miarę Lebesgue'a, to ta miara jest zerowa na zbiorach jednopunktowych. Tak samo jak każda miara bezatomowa (atom - zbiór jednopunktowy o mierze dodatniej; atomy mają np. miary dyskretne).
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: SidCom »

To jasne. Intuicja podpowiada, ale zajrzyj do "Algebra" - Andrzej Białynicki - Birula (BM 40). Na stronie 16. powiedziane jest \(\displaystyle{ 0^0=1}\)
Tak Pan A. B.-B. definiuje: \(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{a \in K} a^{0}=1}\). Co więcej, nie ma żadnych warunków na ciało K.

PS.
a) żebym został dobrze zrozumiany : nie upieram się przy niczym - chcę rozumieć
b) właśnie przeczytawszy tę definicję, wpadła mi ta historia z objętością punktu
Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3841
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 702 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: AiDi »

Tak się przyjmuje dla wygody pewnych rozważań, ale nie ma żadnych podstaw by traktować to jako ogólną regułę. \(\displaystyle{ 0^0}\) to wciąż symbol nieoznaczony.
szw1710

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: szw1710 »

W szeregach potęgowych, aby wszystko ładnie pasowało, przyjmujemy \(\displaystyle{ 0^0=0}\). Chodzi o postać \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0x^0+a_1x^1+\dots\,.}\) No więc albo będziemy pisali \(\displaystyle{ a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n}\) bez żadnych nieporozumień, albo przyjmiemy dla \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ n=0}\), że \(\displaystyle{ 0^0=0}\) i możemy sobie sumować od zera. Tak więc, sd vocem poprzedniej wypowiedzi (przyznaję jej rację), mamy przykład innej wygodnej konwencji.
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: SidCom »

Przyznam, że ta dowolność mnie nieco uwiera tzn.

\(\displaystyle{ 0^0= \begin{cases} \ 0 \ \text{teraz}\\\ 1 \ \text{innym razem} \end{cases}}\)

Z drugiej strony - prawdziwi matematycy nie zwracali i nie zwracają nadal na to uwagi, więc pokornie
zamilknę
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: matmatmm »

SidCom pisze:Z drugiej strony - prawdziwi matematycy nie zwracali i nie zwracają nadal na to uwagi, więc pokornie zamilknę
Nie wahaj się zadawać pytać. Według mnie w matematyce praktycznie wszystko da się wytłumaczyć, dlaczego jest tak, a nie inaczej i nie trzeba nic przyjmować na wiarę. Podam ci jeden z możliwych argumentów, dlaczego nie można jednoznacznie zdefiniować \(\displaystyle{ 0^0}\).

Zastanówmy się może, dlaczego w ogóle \(\displaystyle{ a^0=1}\), dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\).

Wprowadzanie potęgowania w ciele zaczyna się od określenia go dla wykładnika naturalnego (bez zera). Można udowodnić, że takie działanie ma własność:
\(\displaystyle{ a^{n+m}=a^n \cdot a^m}\).
,dla \(\displaystyle{ a\in K}\), \(\displaystyle{ n,m\in \NN}\).

Teraz chcielibyśmy rozszerzyć działanie potęgowania również dla zera z zachowaniem tej własności. Musi zatem zachodzić
\(\displaystyle{ a^{n+0}=a^{n}a^{0}}\)
\(\displaystyle{ a^{n}=a^{n}a^{0}}\)
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ a\neq 0}\) i \(\displaystyle{ n\in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ a^n\neq 0}\) i możemy podzielić przez \(\displaystyle{ a^{n}}\), co daje nam, że dla dla dowolnego \(\displaystyle{ a\neq 0}\) musi być \(\displaystyle{ a^0=1}\).

Natomiast jeśli chodzi o \(\displaystyle{ 0^0}\), to musi zachodzić
\(\displaystyle{ 0^{0+0}=0^0\cdot 0^0}\)
\(\displaystyle{ 0^0=\left( 0^0\right)^2}\)
\(\displaystyle{ 0^0=0 \vee 0^0=1}\)
Oznacza to, że tylko na podstawie tego równania funkcyjnego nie można jednoznacznie stwierdzić, ile wynosi \(\displaystyle{ 0^0}\).
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: leszczu450 »

matmatmm, a czy fakt, że \(\displaystyle{ a^0=1}\) można udowodnić też taki sposób:

Łatwo udowodnić, że: \(\displaystyle{ a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n}}\). Zatem \(\displaystyle{ a^0= a^{m-m}= \frac{a^m}{a^m}=1}\). Czy to jest również taki formalny dowód? : )
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: matmatmm »

Nie nazwałbym mojego rozumowania dowodem, gdyż zazwyczaj przyjmuje się z definicji, że dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\) jest \(\displaystyle{ a^0=1}\). To co podałem jest próbą uzasadnienia, dlaczego akurat tak się definiuje.
leszczu450 pisze: Łatwo udowodnić, że: \(\displaystyle{ a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n}}\). Zatem \(\displaystyle{ a^0= a^{m-m}= \frac{a^m}{a^m}=1}\)
Dowodzisz, że \(\displaystyle{ a^{0}=1}\). Jaką wobec tego przyjmujesz definicję potęgowania? Przez równanie funkcyjne?
Po drugie piszesz, ze łatwo udowodnić, że \(\displaystyle{ a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n}}\). Jaki dowód masz na myśli? I dla jakich \(\displaystyle{ m,n}\)? Całkowitych? Naturalnych? Bo coś mi się wydaje, że w tym dowodzie trzeba skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ a^0=1}\) i wtedy jesteśmy w błędnym kole.

EDIT. Jak się nad tym zastanowiłem, to chyba może to być poprawny dowód przy definicji potęgowania przez równanie funkcjyjne z założeniem, że \(\displaystyle{ a^{n}\neq 0}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\).
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: SidCom »

matmatmm, wartościowa odpowiedź, dzięki.
Teraz będę spał spokojniej

PS. Z 15 lat temu zrobiłem absolutorium na Hoźej 69 w W-wie i nigdy wcześniej ani później nie brałem nic na wiarę...
szw1710

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: szw1710 »

matmatmm pisze:[...]

Natomiast jeśli chodzi o \(\displaystyle{ 0^0}\), to musi zachodzić
\(\displaystyle{ 0^{0+0}=0^0\cdot 0^0}\)
\(\displaystyle{ 0^0=\left( 0^0\right)^2}\)
\(\displaystyle{ 0^0=0 \vee 0^0=1}\)
Oznacza to, że tylko na podstawie tego równania funkcyjnego nie można jednoznacznie stwierdzić, ile wynosi \(\displaystyle{ 0^0}\).
To nie jest równanie funkcyjne. W tego rodzaju równaniach niewiadomymi są funkcje. Np. równanie Cauchy'ego \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\), równanie Jensena \(\displaystyle{ f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}}\), równanie funkcjonałów kwadratowych \(\displaystyle{ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)}\) itp.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: matmatmm »

Oczywiście miałem na myśli równanie
\(\displaystyle{ f(n+m)=f(n)f(m)}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: a4karo »

I tu się często zapomina,że funkcje \(\displaystyle{ f(x)\equiv 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)\equiv 1}\) też są rozwiązaniami tego równania -- 13 lip 2014, o 15:45 --@SidCom
w pewnym sensie masz jednak rację: spójrz na takie rozumowanie
Objętośc kuli 3-wymiarowej : \(\displaystyle{ V_3(r)=4/3\pi r^3}\) - pole powierzchni: \(\displaystyle{ S_2(r)=V_3'(r)=4\pi r^2}\)
Pole koła (kuli 2-wymiarowej) : \(\displaystyle{ V_2(r)=\pi r^2}\) - obwód \(\displaystyle{ S_1(r)=V_2'(r)2\pi r}\)
Długość odcinka o promieniu \(\displaystyle{ r}\): \(\displaystyle{ V_1(r)=2r}\) - "pole brzegu" = \(\displaystyle{ S_0(r)=V_1'(r)=2}\)
a ten brzeg składa się z dwóch punktów przecież
SidCom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 716
Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 125 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: SidCom »

Schodząc z twoim rozumowaniem o 1 wymiar niżej mamy:

Objętość punktu wynosi \(\displaystyle{ V_0(0)=1}\) a powierzchnia \(\displaystyle{ S_0(0)=0}\)

co Wy na to ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

objętość punktu równa 1 - gdzie jest błąd ?

Post autor: a4karo »

Nic.
ODPOWIEDZ