Strona 1 z 1

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 10:28
autor: tadu983
W układzie \(\displaystyle{ Oxy}\) mamy daną dowolną prostą \(\displaystyle{ l}\) która tworzy z osiami układu kąty kierunkowe \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) oraz wektor \(\displaystyle{ F=[X,Y]}\) którego początek jest zaczepiony na dowolnym pkt. prostej \(\displaystyle{ l}\). Jak udowodnić, że długość rzutu wektora\(\displaystyle{ F}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\) jest równy \(\displaystyle{ X\cos \alpha+Y\cos \beta}\).

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 11:18
autor: robertm19
Narysuj, poszukaj trójkątów prostokątnych.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 12:21
autor: tadu983
Niestety dalej nie wiem jak to udowodnić. Wychodzą mi na rysunku różne trójkąty prostokątne ale nie potrafię z tego nic wywnioskować. Chciałem wrzucić obrazek ale wyskakuje mi komunikat:"Określenie wymiarów obrazka nie było możliwe." Proszę o dalsze podpowiedzi.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 13:28
autor: robertm19
Poczytaj o iloczynie skalarnym.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 14:02
autor: tadu983
Poczytałem ale dalej nie wiem jak to zrobić. Proszę o jakąś bardziej konkretną podpowiedź.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 14:09
autor: AiDi
Bardziej konkretna jest taka, że prosta jest wyznaczona przez wektor, np. o długości 1. Możemy wyznaczyć współrzędne tego wektora korzystając z kanonicznego iloczynu skalarnego na płaszczyźnie - obliczając iloczyn z wersorem w kierunku \(\displaystyle{ x}\) i wersorem w kierunku \(\displaystyle{ y}\). Dalej wystarczy zauważyć, że długość rzutu wektora na prostą jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora z unormowanym wektorem kierunkowym tej prostej.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 16:21
autor: tadu983
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ F=[X,Y]}\) i \(\displaystyle{ V=[\cos \alpha,\cos \beta]}\)
\(\displaystyle{ F \circ V =[X,Y] \circ [\cos \alpha,\cos \beta] = X\cos \alpha+Y\cos \beta}\) ,gdzie \(\displaystyle{ \alpha+\beta = \frac{\pi}{2}}\)
Z drugiej strony mamy:
\(\displaystyle{ F \circ V =|F| \cdot |V| \cdot \cos (F,V) = \sqrt{\cos^2 \alpha +\cos^2 \beta} \cdot |F| \cdot \frac{F_{V}}{|F|}= F_{V}}\)
(gdzie \(\displaystyle{ F_{V}}\) jest miarą rzutu wektora\(\displaystyle{ F}\) na oś wektora \(\displaystyle{ V}\)).
Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\)
Myślę że trzeba wyjść z definicji czyli
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
no ale nie wiem jak to dalej udowodnić.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 17:44
autor: AiDi
tadu983 pisze: Ale teraz to właściwie to problem jest z tym, że nie wiem dlaczego prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\)
Nie wiem czy jest konieczne udowodnienie tego, gdyż jest to na tyle standardowa równość, że raczej nikt tego w zadaniach nie wymaga W szkole średniej tak się definiuje iloczyn skalarny. A jak bardzo potrzebujesz to znajdziesz to pewnie na wikipedii.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 17:52
autor: tadu983
No ale ja nie widzę równości pomiędzy:
\(\displaystyle{ U\circ V = |U| \cdot |V|\cos (F,V)}\) a
\(\displaystyle{ U\circ V = [u_{1},u_{2}]\circ[v_{1},v_{2}] =u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}}\)
Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć. Wiem że jestem upierdliwy ale jeszcze poproszę o ten dowód.

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 17:55
autor: AiDi
tadu983 pisze: Na wikipedii nie ma tego dowodu no i w sumie nigdzie nie mogę go znaleźć.
Czyżby.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny
Sekcja "interpretacja geometryczna".

Długość rzutu wektora na prostą

: 12 lip 2014, o 18:45
autor: tadu983
Faktycznie jest przeoczyłem.
Chciałem tylko jeszcze się zapytać jak udowodnić wzór na rzut wektora \(\displaystyle{ F =[X,Y,Z]}\) w przestrzeni na prostą \(\displaystyle{ l}\). Powinien wynosić \(\displaystyle{ X\cos \alpha+Y\cos \beta +Z\cos \gamma}\). Myślałem że jak będę miał sposób na udowodnienie tego na płaszczyźnie to przeniosę to na 3D . Ale tutaj chyba się nie da bo pierwiastek z kwadratów 3 cosinusów nie będzie wynosił 1. Jeszcze raz proszę o pomoc.

Długość rzutu wektora na prostą

: 13 lip 2014, o 12:57
autor: AiDi
Ale nie musisz żadnych kwadratów cosinusów obliczać Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą. Wektor ten zadany jest przez trzy cosinusy, drugi też masz zadany, więc z definicji mnożysz współrzędne przez siebie. Itd. Nic więcej nie musisz robić, to twoje "z drugiej strony mamy" w powyższym poście potrzebne nie było

Długość rzutu wektora na prostą

: 13 lip 2014, o 15:12
autor: tadu983
Napisałeś, że
Długość rzutu wektora na prostą, jest równa iloczynowi skalarnemu tego wektora i jednostkowego wektora wyznaczającego prostą
.
No ale właśnie chcę zrozumieć dlaczego tak jest. Już wiem że jest tak na płaszczyźnie (bo powiedziałeś jak to udowodnić ), ale nie wiem czy zachodzi to w przestrzeni (bo nie mogę przenieść sposobu dowodzenia z 2D do 3D ).


Ok.Już kumam. Wielkie dzięki za pomoc.