Płaszczyzna zawierająca prostą i równoległa do prostej

[weronica007]

Jak wyznaczyć płaszczyznę \(\displaystyle{ H}\) równoległą do jednej prostej \(\displaystyle{ L_{1}}\) i zawierającą drugą \(\displaystyle{ L_{2}}\)?

[Poszukujaca]

Należy skorzystać z zależności zachodzących między wektorami kierunkowymi prostych a wektorem normalnym płaszczyzny. Ponadto każdy punkt prostej \(\displaystyle{ L_{2}}\) należy do płaszczyzny, więc spełnia jej równanie. W dodatku obie proste też oczywiście muszą być do siebie równoległe, więc ich wektory kierunkowe są proporcjonalne.

[kerajs]

Ciut innaczej.

Iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych prostych da wektor normalny szukanej płaszczyzny. Zaczepić ją można (czyli wyliczyć D w równaniu ogólnym ) w punkcie należącym do prostej zawartej w płaszcyźnie.

Zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań (pęk płaszczyzn) gdy dane proste są równoległe.

[weronica007]

Zatem czy przy wyliczaniu D w równaniu ogólnym za współczynniki \(\displaystyle{ A,B,C}\) obieram wektor normalny powstały z dwóch kierunkowych a za \(\displaystyle{ a,b,c}\) podstawiam współrzędne punktu należącego do prostej zawartej w płaszczyźnie? Tj.: \(\displaystyle{ A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)+D=0}\)?

[kerajs]

Dla równania ogólnego \(\displaystyle{ Ax+By+Cz +D=0}\) wyraz D znajdujesz podstawiając współrzędne dowolnego punktu należącego do tej płaszczyzny.
Lub stosujesz równanie
\(\displaystyle{ A(x-x _{0} )+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0}\) gdzie z zerami w indeksach to współrzędne wstawianego punktu.

Zresztą drugie równanie wynika z pierwszego
\(\displaystyle{ \pi : & Ax+By+Cz +D=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x _{0} , y_{0}, z _{0}\right) \in \pi \Rightarrow Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0} +D=0}\)
Odejmując stronami oba równania masz:
\(\displaystyle{ \left( Ax+By+Cz +D\right) -\left( Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0} +D \right) =0}\)
\(\displaystyle{ A(x-x _{0} )+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0}\)

[Kartezjusz]

A w jakich postaciach masz proste? ,bo ta informacja pozwoli przyśpieszyć działanie, jeśli są podane w formie parametrycznej.