obraz trójkąta

[rozprzedstud]

Jak mamy trzy niewspółliniowe punkty w układzie współrzędnym \(\displaystyle{ a,b,c}\), wyznaczymy równania prostych \(\displaystyle{ ab,ac,bc}\) to jak najprościej formalnie uzasadnić (mało rachunków, proste obliczenia), który z układów nierówności \(\displaystyle{ ab \square_1 0 \wedge ac \square_2 0 \wedge bc \square_3 0}\) opisuje trójkąt \(\displaystyle{ abc}\) gdzie \(\displaystyle{ \square_1,\square_2,\square_3}\) oznaczają \(\displaystyle{ \le}\) albo \(\displaystyle{ \ge}\)?

[kerajs]

1. Jak chcesz porównywać równania prostych z zerem?
Chyba chodziło Ci o wyznaczenie półpłaszczyzn na które dana prosta dzieli płaszczyznę układu współrzędnych.
2. Aby jednoznacznie wskazywać półpłaszczyzny których część wspólna wskazuje trójkąt trzeba coś wiedzieć o położeniu punktów \(\displaystyle{ a,b,c}\) (zwykle byłyby to A,B,C ) np. znać relację miedzy ich rzędnymi i między ich odciętymi.

[rozprzedstud]

Możesz napisać jaki jest ten warunek konieczny i dostateczny na to aby te półpłaszczyzny opisywały trójkąt? Powiedzmy, że \(\displaystyle{ A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),C(x_c,y_c)}\) i \(\displaystyle{ A,B,C}\) nie są współliniowe.

[kerajs]

Nie ma jednego układu nierówności który byłby uniwersalny dla dowolnych współrzędnych punktów A, B, C.
Np dla
\(\displaystyle{ x _{a} < x _{b} < x _{c}}\)
\(\displaystyle{ y _{a} < y _{c} < y _{b}}\)
masz
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\left(x-x _{a} \right) \left( y _{b}-y _{a}\right) \ge \left( y-y _{a}\right) \left( x _{b}-x _{a}\right) \\
\left(x-x _{c} \right) \left( y _{c}-y _{a}\right) \le \left( y-y _{c}\right) \left( x _{c}-x _{a}\right) \\
\left(x-x _{b} \right) \left( y _{c}-y _{b}\right) \ge \left( y-y _{b}\right) \left( x _{c}-x _{b}\right) \end{cases}}\)
Dla innej relacji między współrzędnymi zmienią się niektóre znaki nierówności .

Brak formalnej treści tematu sugeruje mi Twój własny projekt. Jeśli się nie mylę, to może napiszesz do czego potrzebujesz rozwiązania problemu z tego tematu.

[rozprzedstud]

Szukam jakiegoś zwięzłego, wygodnego algorytmu, który pozwoliłby znaleźć opis trójkąta w układzie współrzędnych o wierzchołkach w \(\displaystyle{ A,B,C}\).

Algorytm może się zacząć tak:

1. Dane są niewspółliniowe punkty \(\displaystyle{ A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),C(x_c,y_c)}\).
2. Wyznaczamy równania prostych \(\displaystyle{ AB,AC,BC}\)
3. Ponieważ trójkąt wyznaczony jest przez odpowiednie półpłaszczyzny, zapisujemy układ warunków
\(\displaystyle{ \begin{cases} (y-y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(x-x_a) \square 0 \\ (y-y_a)(x_c-x_a)-(y_c-y_a)(x-x_a)\square 0 \\ (y-y_b)(x_c-x_b)-(y_c-y_b)(x-x_b)\square 0 \end{cases}}\)
gdzie miejsce \(\displaystyle{ \square}\) jest zarezerwowane na któryś ze znaków \(\displaystyle{ \ge, \le}\)
4. W celu rozstrzygnięcia który ze znaków \(\displaystyle{ \ge,\le}\) należy wstawić w odpowiednie miejsce \(\displaystyle{ \square}\) znajdujemy odpowiednią relację między odciętymi a rzędnymi punktów \(\displaystyle{ A,B,C}\)

I właśnie nie wiem co powinienem ustalić w punkcie 4. aby dowiedzieć się który ze znaków \(\displaystyle{ \le, \ge}\) mam wpisać w dane miejsce \(\displaystyle{ \square}\) powyższego układu.

W jaki sposób znając relację \(\displaystyle{ \le}\) między \(\displaystyle{ x_a,y_a,x_b,y_b,x_c,y_c}\) tzn. znając konkretny porządek \(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5 \le a_6}\) (gdzie \(\displaystyle{ a_1,...,a_6}\) są sześcioma odciętymi i rzędnymi punktów \(\displaystyle{ A,B,C}\)) stwierdzić, który ze znaków \(\displaystyle{ \le, \ge}\) należy wstawić w odpowiednie miejsce \(\displaystyle{ \square}\) w powyższym układzie?

[kerajs]

Mając półpłaszczyznę odciętą prostą zawierającą punkty A i B (to pierwsza w układzie nierówności) znak nierówności określisz wstawiając za ,,x' i ,,y' wspólrzędne punktu C. Znaki pozostałych nierówności znajdziesz analogicznie.

Oznacza to .że w 1) pobierasz współrzędne A,B,C

Pomijasz 2) bo równania prostych masz już w układzie nierówności.

3) Znaki nierówności ustalasz na podstawie wstawienia punktu nienależacego do prostej.

Wygląda to np. tak (dla pierwszej nierówności):
Czy \(\displaystyle{ (y _{c} -y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(y _{c}x-x_a)>0}\) ?
Jeśli tak, to wstawiasz znak \(\displaystyle{ \ge}\)
Jeśli nie, to sprawdzasz dalej.
Czy \(\displaystyle{ (y _{c} -y_a)(x_b-x_a)-(y_b-y_a)(y _{c}x-x_a)=0}\) ?
Jeśli tak, to masz współliniowość która kończy program dając odpowiedni komunikat na ekran.
Jeśli nie, to wstawiasz znak \(\displaystyle{ \le}\)
Oczywiście to tylko propozycja. I tak wszystko zrobisz po swojemu.

Punkt 4) jest tu zbędny. Ja go potrzebowałem aby napisać konkretny układ nierówności.
Ty nie potrzebujesz uporządkowania współrzędnych. Jednak wyświetlając układ nierówności powinieneś zadbać aby nie było wyrażeń typu \(\displaystyle{ - -2(x+-3)}\) a pojawiały się \(\displaystyle{ 2(x-3).}\)