Współrzędne punktu P' względem prostej w przestrzeni.

[janeczeknt]

Proszę wyznaczyć współrzędne punktu P' względem prostej \frac{x-2}{2} = \frac{y+4}{-1} = \frac{z+3}{1} do punktu P(1,1,0).

Proszę o schemat rozwiązywania. Nie mogę sobie z tym poradzić.

[kerajs]

Przypuszczam że treść zadania powinna brzmieć:
Wyznaczyć współrzędne punktu P' SYMETRALNEGO względem prostej \(\displaystyle{ \frac{x-2}{2} = \frac{y+4}{-1} = \frac{z+3}{1}}\) do punktu P(1,1,0).
Jesli mam rację to można to oblczyć np. tak:
1. Napisać równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej i zawierającej punkt P.
To dość łatwe bo za wektor normalny płaszczyzny można przyjąć wektor kierunkowy prostej, a wartośc współczynnika D w równaniu płaszczyzny oblicza się po wstawieniu współrzędnych punktu P do tego równania.

Edit: \(\displaystyle{ \vec{n} = \vec{k}=\left[ 2,-1,1\right]}\)
\(\displaystyle{ \pi: 2x-y+z+D=0}\)
\(\displaystyle{ P \in \pi \Rightarrow 2 \cdot 1-1 \cdot 1+1 \cdot 0+D=0 \Rightarrow D=-1}\)
\(\displaystyle{ \pi: 2x-y+z-1=0}\)

2. Znależć punkt przebicia (nazwę go O)obliczonej płaszczyzny przez daną prostą. Tu trzeba rozwiązać układ równań je zawierające.

Edit:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+z-1=0\\x-2=2t\\y+4=-t\\z+3=t\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{-2}{3} \\y= \frac{-10}{3} \\z= \frac{-11}{3} \\t= \frac{-2}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ O=\left( \frac{-2}{3}, \frac{-10}{3} , \frac{-11}{3}\right)}\)

3. Punkt P' znajdziesz z rozwiązania równania:
\(\displaystyle{ \vec{PO}= \vec{OP'}}\)

Edit: \(\displaystyle{ \left[ \frac{-2}{3}-2, \frac{-10}{3} +4, \frac{-11}{3}+3\right] =\left[ x _{P'}- \frac{-2}{3}, y _{P'}- \frac{-10}{3} , z _{P'}- \frac{-11}{3}\right]}\)
\(\displaystyle{ P'=\left( \frac{-10}{3}, \frac{-8}{3} , \frac{-13}{3}\right)}\)


Poradzisz sobie?
Edit: Jak widzisz to dość proste działania.

[janeczeknt]

Bardzo Ci dziękuje, widzę że zadanie nie jest trudne. Po jego przeanalizowaniu doszedłem do takich rozwiązań.

Z równania wyszło mi \(\displaystyle{ t= -\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ x=2t+2=2*- \frac{2}{3}+2= \frac{2}{3}}\)

Czyli Punkt \(\displaystyle{ O( \frac{2}{3},- \frac{10}{3},- \frac{11}{3})}\)

Współrzędne punktu \(\displaystyle{ P(1,1,0)}\)
Więc wektor \(\displaystyle{ \vec{PO}=[ \frac{2}{3}-1,- \frac{10}{3}-1,- \frac{11}{3}]}\)
Czyli z równości wektorów \(\displaystyle{ \vec{PO}= \vec{OP'}}\) otrzmałem \(\displaystyle{ xp'= \frac{1}{3} yp'=- \frac{23}{3} zp'=- \frac{22}{3} .}\)