Zbadać wzajemne położenie prostych

[Poszukujaca]

Zbadaj wzajemne położenie prostej \(\displaystyle{ l}\) prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi : y=2+z}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A=(1,2,0)}\) oraz prostej \(\displaystyle{ k}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B=(0,3,-1)}\) i równoległej do prostej \(\displaystyle{ k' =\begin{cases} x+y-z=-1 \\ x-2y-z=2 \end{cases}}\).

Próbuje znaleźć wektory kierunkowe prostych \(\displaystyle{ l,k}\), ale jedyne co dostaję z równoległości wektorów - to zależności zachodzące między współrzędnymi tych wektorów, niektóre też wychodzą zerowe, ale żeby zbadać wzajemne położenie tych prostych muszę mieć ich wektory kierunkowe.. jakie je znaleźć?

[kerajs]

Wektor kierunkowy prostej l to normalny płaszczyzny do niej prostopadłej.
\(\displaystyle{ \vec{k _{l} } =\left[ 0,1,-1\right]}\)
a jej równanie to :
\(\displaystyle{ l : \frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{-1}}\)

Wektor kierunkowy prostej k' to iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyznz równania krawędziowego:
\(\displaystyle{ \vec{k _{k'} } = \left[ 1,1,-1\right] \times \left[1,-2,-1 \right] =\left[ 1,0,-3\right]}\)
Prosta k jest równoległa do k' więc można przyjąć obie mają taki sam wektor kierunkowy
Równanie prostej k :
\(\displaystyle{ k : \frac{x}{1} = \frac{y-3}{0} = \frac{z+1}{-3}}\)

Masz szukane wektory: \(\displaystyle{ \vec{k _{l} } =\left[ 0,1,-1\right]}\) i \(\displaystyle{ \vec{k _{k} } =\left[ 1,0,-3\right]}\)
Co trzeba zrobić dalej?

[Poszukujaca]

Rzeczywiście! Nie skojarzyłam, że prostopadłość prostej i płaszczyzny oznacza to, iż obie małą ten sam wektor kierunkowy i normalny.
Kombinowałam, że wektory te muszą być równoległe, a ich współczynniki proporcjonalne.. No w sumie chyba w ogólności tak jest, ale możemy przyjąć, że są takie same. To nie zmienia wyniku w tym zadaniu.
W podobny sposób postąpiłam przy prostej \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ k'}\).

Otrzymałam:
\(\displaystyle{ l: \frac{y-2}{-C}=\frac{z}{C}}\)

\(\displaystyle{ k: \frac{x}{-A}=\frac{z+1}{-3A}}\)

Czy w ogólności można tak przyjąć?


Wracając do rozwiązania zadania, które mam otrzymać, to mając już wektory kierunkowe obu prostych, aby zbadać ich wzajemne położenie, muszę sprawdzić, czy mają punkt wspólny, czy są równoległe lub prostopadłe.

[kerajs]

\(\displaystyle{ l: \frac{y-2}{-C}=\frac{z}{C}}\)
\(\displaystyle{ k: \frac{x}{-A}=\frac{z+1}{-3A}}\)
Czy w ogólności można tak przyjąć?

A co z trzecią zmienną w każdym z równań?

Ps. W pierwszym poscie podałem właściwe równania. A jaka będzie postać parametryczna tych prostych

Wracając do rozwiązania zadania, które mam otrzymać, to mając już wektory kierunkowe obu prostych, aby zbadać ich wzajemne położenie, muszę sprawdzić, czy mają punkt wspólny, czy są równoległe lub prostopadłe.

Proste są równoległe gdy ich wektory kierunkowe są proporcjonalne. Tzn że istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \vec{k _{l} } = \alpha \vec{k _{k} }}\)
Proste są prostopadłe gdy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych wynosi 0.
To czy się przecinają (i odpowiedni punkt przecięcia) wyznacza się z układu równań zawierającego obie proste (najwygodniej w postaci kierunkowej).Gdy układ nie ma rozwiazania to proste sie nie przecinają.

[Poszukujaca]

Proste są równoległe gdy ich wektory kierunkowe są proporcjonalne. Tzn że istnieje takie \(\displaystyle{ \alpha}\), że \(\displaystyle{ \vec{k _{l} } = \alpha \vec{k _{k} }}\)

Czy ten warunek nie jest równoznaczny z tym, że iloczyn wektorowy dwóch wektorów równoległych daje zawsze wektor zerowy?

[kerajs]

Oba sprawdzaja równoległość.