Największa odległość od punktu

[weronica007]

Na elipsie \(\displaystyle{ x^{2}+4\cdot y^{2}=4}\) znaleźć taki punkt, którego współrzędne są ujemne i którego odległość od punktu q=(0,1) jest największa.

[kerajs]

Elipsę rozkładam na dwie półelipsy:
\(\displaystyle{ y= \sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 } \wedge y= -\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }}\)
Na pierwszej wybieram punkt \(\displaystyle{ P _{1} =\left( x,\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }\right) ; x \in \left\langle -2,2\right\rangle}\)
optymalizowana odległość
\(\displaystyle{ d _{1} =\left|P _{1}Q \right| = \sqrt{\left( x-0\right)^2+\left(\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }-1 \right)^2 }}\)
\(\displaystyle{ d _{1} (x)= \sqrt{ \frac{3}{4} x^2-2\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }+2}}\)
Potrafisz znależć ekstrema na funkcji d1(x) ?

Analogicznie na drugiej pólelipsie wybieram punkt \(\displaystyle{ P _{2} =\left( x,-\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }\right) ; x \in \left\langle -2,2\right\rangle}\)
optymalizowana odległość
\(\displaystyle{ d _{2} =\left|P _{2}Q \right| = \sqrt{\left( x-0\right)^2+\left(-\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }-1 \right)^2 }}\)
\(\displaystyle{ d _{2} (x)= \sqrt{ \frac{3}{4} x^2+2\sqrt{1-\left( \frac{x}{2} \right)^2 }+2}}\)
Potrafisz znależć ekstrema na funkcji d2(x) ?

Dodatkowo Trzeba znaleźć odległość punktu Q od miejsca rozłączania elipsy na półelipsy czyli (-2,0) i (2,0)

Spośród powyższych (obliczonych ekstremów i odległości od miejsca rozłączenia) wybierzsz interesującą Cię odległość