Prosta prostopadła i rzut punktu

[weronica007]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) przez punkt p=(3,-1,1) poprowadzić prostą L prostopadłą do płaszczyzny H=x+\(\displaystyle{ 2\cdot y}\)-z=4. Zapisać równanie parametryczne prostej L.
Następnie poszukać punktu q, który będzie rzutem punktu p na płaszczyznę H.

[kerajs]

Wektor kierunkowy prostej to wektor normalny płaszcyzny do niej prostopadłaej
\(\displaystyle{ \vec{k} =\left[ 1,2,-1\right]}\)
Znając punkt który ta prosta zawiera mogę napisać równanie prostej :
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=3+1 \cdot t\\y=-1+2 \cdot t\\z=1-1 \cdot t \end{array}}\)

Punkt Q który jest rzutem punktu P na płaszcyznę to punkt przebicia płaszczyzny przez prostą. Wystarzczy rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} płaszczyzna\\prosta\end{cases}}\)

czyli
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+2y-z=4\\x=3+1 \cdot t\\y=-1+2 \cdot t\\z=1-1 \cdot t \end{array}}\)
Po wstawieniu tzrech ostatnich do pierwszego mam:
\(\displaystyle{ \left[ 1 \cdot t\right] +2\left[=-1+2 \cdot t \right] -\left[ 1-1 \cdot t\right] =4}\)
\(\displaystyle{ t=-2}\) wstawiam do równania prostej otrzymując \(\displaystyle{ Q=\left( 1,-5,3\right)}\)