Znaleźć równanie płaszczyzny

[Poszukujaca]

Dana jest prosta \(\displaystyle{ l: \begin{cases} 3x-2y+z =3 \\ x-2z=0 \end{cases}}\)
oraz płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi_{1}: x+y+z+8=0}\).
Znajdź równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) przechodzącej przez prostą \(\displaystyle{ l}\) i prostopadlej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi_{1}}\).

Jedyne co udało mi się zrobić to znaleźć wektor kierunkowy prostej \(\displaystyle{ l}\),
\(\displaystyle{ v_{l}=[4,7,2]}\) i wywnioskować, że \(\displaystyle{ v_{\pi}_{1} \circ v_{\pi} =0}\), ponieważ wektory są prostopadłe. Z tej zależności otrzymuję równanie: \(\displaystyle{ A+B+C=0}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B,C}\) są współrzędnymi wektora normalnego szukanje płaszczyzny.

Co moge jeszcze zrobić, aby otrzymać równanie płaszczyzny?

[kerajs]

Brakuje Ci tylko pumktu należącego do szukanej płaszcyzny, Wiesz że prosta l ( a więc i jej punkty) należy do poszukiwanej płaszczyzny. Dobierz sobie dowolną wartośc jednej ze zmiennej , np z=0, i wylicz pozostałe wspołrzędne tego punktu prostej (ja nie mogę tego zrobić, bo w równaniu krawędziowym prostej błędnie wpisałaś druga płaszczyznę ). Otrzymany punkt wstaw do równania płaszczyzny
\(\displaystyle{ A\left( x-x _{0} \right) +B\left( y-y _{0} \right)+C\left( z-z _{0} \right)=0}\)
lub wstaw do równania :
\(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\) i oblicz D

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ P(2,2,1)\in \pi}\)

Ale czy to wystarczy? Teraz będę mieć dwa równania zamiast czterech..

[kerajs]

Skoro masz już A,B,C to szukasz D
Wstawiasz obliczony punkt
\(\displaystyle{ 2A+2B+C+D=0}\)
i wyliczasz D
\(\displaystyle{ D=-2A-2B-C}\)

I masz równanie płaszczyzny (po wstawieniu znanych Ci : A,B,C,D)
\(\displaystyle{ \pi :Ax+By+Cz+D=0}\)

[Poszukujaca]

Ale właśnie w tym rzecz, że nie mam obliczonych \(\displaystyle{ A,B,C}\)..

[kerajs]

Sorry , nie doczytałem. Wektor normalny szukanej płaszczyzny jest prostopadły do normalnego płaszczyzny danej i wektora kierunkowego prostej. Obliczasz go z iloczynu wektorowego

\(\displaystyle{ \vec{n} =\left[ A,B,C\right] =\left[ 4,7,2\right] \times \left[ 1,1,1\right] =\left[ 5.-2,-3\right]}\)

A równanie płaszczyzny to
\(\displaystyle{ 5x-2y-3z-3=0}\)

[Poszukujaca]

Dobrze, ale nie mam pewności dlaczego iloczyn wektorowy wektora nomralnego płaszczyzny pierwszej i wektora kierunkowego prostej, daje nam od razu wektor normalny drugiej płaszczyzny..

Czy można to jakoś wyjaśnić?

[kerajs]

1. Fakt: Wektor normalny płaszczyzny jest do niej prostopadły.
(Jak chcesz to mogę wyprowadzić Ci ten wzór)
2. Skoro prosta leży w poszukiwanej płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) to jej wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{k}}\) leży także w tej płaszczyźnie (tak naprawdę to jest do niej równoległy gdyż jest wektorem swobodnym).
Czyli wektor normalny płaszcyzny \(\displaystyle{ \pi}\) jest prostopadły do wektora kierunkowego \(\displaystyle{ \vec{k}}\) prostej L. (jest to konkluzja z pkt 1. i pierwszego zdania punktu 2. )
3. Z treści zadania wiesz, że płaszczyzna \(\displaystyle{ \pi}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ \pi _{1}}\) więc wektory normalne tych płaszczyzn są prostopadłe ( \(\displaystyle{ \vec{n}}\) jest prostopadły do \(\displaystyle{ \vec{n _{1} }}\)),
4. Ponieważ \(\displaystyle{ \vec{n}}\) jest prostopadły zarówno do wekora \(\displaystyle{ \vec{k}}\) jak i do \(\displaystyle{ \vec{n _{1} }}\) to można go wyznaczyć z ich iloczynu wektorowego.


Ps. W przypadku równoległości wekorów \(\displaystyle{ \vec{k}}\) i \(\displaystyle{ \vec{n _{1} }}\) zadanie miałoby nieskończenie wiele rozwiązań gdyż taki iloczyn wektorowy daje wektor zerowy. Byłby to pęk płaszczyzn o wspólnej prostej L.