Znaleźć równanie linii

[Kaef]

Napisać równanie linii przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(2,3)}\) o następującej własności, że każdy odcinek stycznej do linii zawarty między osiami układu jest dzielony na połowy przez punkt styczności.

A co w takim przypadku? Czym to się różni od poprzedniego?

[kerajs]

Do Kaef
Różni sią tylko przepisem na znalezienie krzywej.

Styczna \(\displaystyle{ y-y _{0}=f ^{'} \left( x _{0} \right) \left( x-x _{0} \right)}\) przecina osie w punktach:
\(\displaystyle{ \left( 0; y _{0}-f ^{'}\left( x _{0} \right) x _{0} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( \frac{f ^{'}\left( x _{0} \right) x _{0}-y_{0}}{f ^{'}\left( x _{0} \right) } ;0\right)}\)

Z treści zadania wynika że
\(\displaystyle{ x _{0} = \frac{1}{2} \left[ 0+ \frac{f'\left( x _{0} \right) x_0-y_0}{f'\left( x _{0} \right) }\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ y _{0} =\frac{1}{2}\left[y _{0}-f ^{'}\left( x _{0} \right) x _{0}-0 \right]}\)

Powyższe zależności spełnione są dla każdego punktu (x.y) poszukiwanej krzywej.
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2} \frac{x \cdot f ^{'}-y }{f ^{'}} \wedge y=\frac{1}{2} \left( y-x \cdot f ^{'}\right)}\)
Ten układ równań różniczkowych po wyliczeniu y z drugiego równania i wstawieniu do pierwszego daje zwykłe równanie różniczkowe . Teraz trzeba je rozwiązać.

Stałą C znajduje się z przechodzenia wyliczonej krzywej przez punkt (2,3). Czyli z rodzimy lini wybiera się tę która zawiera dany punkt.
Potrafisz dokończyć zadanie?

Ukryta treść:    

Nie ździw się jeśli wyjdzie Ci równanie toższmościowe \(\displaystyle{ x=x}\). Po prostu układ zawiera dwa takie same równania. Musisz rozwiazać tylko jedno z nich/ Np drugie
\(\displaystyle{ y ^{'} = \frac{-y}{x}}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{C}{x}}\)
po podstawieniu otrzymasz poszukiwaną krzywą:
\(\displaystyle{ y= \frac{6}{x}}\)

[Kaef]

Tak, myślę, że tak.
Chodziło mi głównie o początek, ideę, a dokładniej o to, żeby dowiedzieć się, gdzie ma znaczenie ta \(\displaystyle{ 1/2}\). Dziękuję Ci

-- 21 cze 2014, o 19:57 --

Mam jeszcze pytanie, bo to w zasadzie jedyny moment, którego nie rozumiem - skąd bierze się w nawiasie kwadratowym przy równości z \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ y_0}\) coś \(\displaystyle{ 0 + ...}\) i \(\displaystyle{ ... - 0}\) ? Dla ścisłości chodzi mi o te zera, a może i o całe nawiasy? Skąd się to bierze?
Fakt, że to wynika z treści zadania mało do mnie przemawia... Bo nie wiem, co to za zera i co by się działo, gdyby zamiast nich miało być coś innego, co one znaczą?

[kerajs]

O! Wydzielono to zadanie w osobny Temat.

Mam dwa punkty: \(\displaystyle{ A=\left(x _{A}, y _{A} \right)}\) i \(\displaystyle{ B=\left(x _{B}, y _{B} \right)}\)
Środek odcinka AB ma współrzędne \(\displaystyle{ \left( \frac{x _{A}+x _{B}}{2}, \frac{y _{A}+y _{B}}{2} \right)}\)
Ot i cała tajemnica.
Wstaw współrzędne punktów przecinających osie do powyższego wzoru, a otrzymasz środek tego odcinka, który jest także punktem styczności. Dwa równania powstały z porównania iksów i ygreków w obu zapisach tego samego punktu (środka odcinka i punktu stycznośći).
Nie pisałem wszystkich zależności sądząc że są oczywiste . Sorry


Ps, Jedno zero jest napisane ze złym znakiem.

[Kaef]

Okej, już wszystko wiem, dzięki.
To zero z minusem mnie nieco zmyliło, pozdrawiam!