Jak znaleźć punkt przecięcia sfery i prostej?

[SharpShooter]

Jak rozwiązać taki układ?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x - x_a}{a} = \frac{y - y_a}{b} = \frac{z - z_a}{c}\\
(x-x_a)^{2} + (y-y_a)^{2} + (z-z_a)^{2} = r^{2}\end{cases}}\)
mając Punkt \(\displaystyle{ A = (x_a,y_a,z_a)}\) promień = r i wektor \(\displaystyle{ AB = [a,b,c]}\)?
Wszyło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ x = \frac{y-y_a}{b}\cdot a + x_a}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{y-y_a}{b}\cdot c + z_a}\)
\(\displaystyle{ \sqrt { \Delta } = 2 \sqrt{ \frac{ r^{2}b^{2}c^{2}}{ (a^{2}+b^{2}+c^{2}} }}\)
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{y_a - \sqrt { \Delta }} {2}}\)
\(\displaystyle{ y_2 = \frac{y_a + \sqrt { \Delta }} {2}}\)

Ale chyba coś jest nie tak.
Proszę o pomoc i z góry dziękuje

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x - x_a}{a} = \frac{y - y_a}{b} = \frac{z - z_a}{c}=t\\
(x-x_a)^{2} + (y-y_a)^{2} + (z-z_a)^{2} = r^{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ (at)^{2} + (bt)^{2} + (ct)^{2} = r^{2}}\)
\(\displaystyle{ t= \sqrt{ \frac{r^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} \vee t=- \sqrt{ \frac{r^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\)

Wystarzczy wstawić te ,,t' do równania prostej i otrzymasz szukane punkty.

Ps, Sugeruję wpierw przejść na postać parametryczną prostej.

[SharpShooter]

Dzięki za odpowiedź I teraz jak mam t to aby znaleźć punkt przecięcia muszę podstawić to w ten sposób: \(\displaystyle{ z = ct + z_a, y = bt + y_a, x = ba + x_a}\) ?

[kerajs]

Tak.

Zadanie ladnie się rozwiazało jedynie dzieki temu że prosta zaczepiona była w środku sfery.

Ps. W parametryzacji zmiennej ,,x' w pospiechu dałeś ,,b' zamiast ,,t'.