Znaleźć równanie linii przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A=\left( 2,0\right)}\) i takiej, że odcinek każdej stycznej do tej linii zawarty między punktem styczności i punktem przecięcia z \(\displaystyle{ O _{y}}\) ma stałą długość \(\displaystyle{ 2}\).
Proszę o pomoc.
Znaleźć równanie linii
-
Magda0601
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 20:46
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Znaleźć równanie linii
Ostatnio zmieniony 21 cze 2014, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
M Ciesielski
- Użytkownik
- Posty: 2524
- Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 302 razy
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Znaleźć równanie linii
Ale tu nie ma punkktu stycznośći.
Styczna przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ P _{1}= \left( a,0\right)}\) i \(\displaystyle{ P _{2}= \left( 0, \sqrt{4-a ^{2} } \right)}\) ; gdzie \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0,2\right\rangle}\) i ma równanie
\(\displaystyle{ y=- \frac{\sqrt{4-a ^{2} }}{a} x+\sqrt{4-a ^{2} }}\)
Wiesz że
\(\displaystyle{ f ^{'} _{x}=- \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =- \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=- \int_{}^{} \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x} \mbox{d}x}\)
Po obliczeniu równania krzywej stałą obliczysz z warunku: krzywa zawiera punkt (2,0)
Styczna przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ P _{1}= \left( a,0\right)}\) i \(\displaystyle{ P _{2}= \left( 0, \sqrt{4-a ^{2} } \right)}\) ; gdzie \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0,2\right\rangle}\) i ma równanie
\(\displaystyle{ y=- \frac{\sqrt{4-a ^{2} }}{a} x+\sqrt{4-a ^{2} }}\)
Wiesz że
\(\displaystyle{ f ^{'} _{x}=- \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =- \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x}}\)
\(\displaystyle{ y=- \int_{}^{} \frac{\sqrt{4-x ^{2} }}{x} \mbox{d}x}\)
Po obliczeniu równania krzywej stałą obliczysz z warunku: krzywa zawiera punkt (2,0)
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Znaleźć równanie linii
Słuszne pytanie.
To mój błąd . Rozwiązałem zadanie w którym odcinek stycznej zawarty między przecięciami z osiami układu współrzędnych ma stałą długość 2. Wtedy współrzędne obu punktów spełniaja tą zależność.
Tu jednakże stałą długość 2 ma odległość między ponktem stycznośći \(\displaystyle{ \left( x _{0}, y _{0}\right)}\) a przecięciem stycznej \(\displaystyle{ y-y _{0}=f ^{'} \left( x _{0}\right) \left( x-x _{0}\right)}\) z osią OY , czyli punktem \(\displaystyle{ \left( 0, y _{0}-f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right)}\)
Daje to związek
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( x _{0}-0 \right) ^{2}+\left( y _{0}-\left( y _{0}-f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right) \right) ^{2} } =2}\)
\(\displaystyle{ x _{0}^{2}+ \left( f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right) ^{2} =4}\)
\(\displaystyle{ \left( f ^{'} \left( x _{0}\right) \right) ^{2} = \frac{4-x _{0} ^{2} }{x _{0} ^{2} }}\)
zależnośc ta zachodzi dla dowolnego x (należącego do dziedziny krzywej)
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } \right) ^{2}= \frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}}\)Daje to dwie zależności
\(\displaystyle{ y ^{'} = \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \wedge y ^{'} =- \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}}}\)
i funkcje spełniające to zadanie
\(\displaystyle{ y = \int_{}^{} \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \mbox{d}x \wedge y = -\int_{}^{}\sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \mbox{d}x}\)
ponieważ krzywa przechodzi przez A o dodatniej odciętej to pomijam wartość bezwględną
\(\displaystyle{ y = \int_{}^{} \frac{ \sqrt{4-x ^{2} } }{x}\mbox{d}x \wedge y = -\int_{}^{}\frac{ \sqrt{4-x ^{2} } }{x}\mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ y=- \sqrt{4-x ^{2} } +\ln \left| \frac{\sqrt{4-x ^{2} }+2}{\sqrt{4-x ^{2} }-2} \right| +C}\)
lub \(\displaystyle{ y= \sqrt{4-x ^{2} } -\ln \left| \frac{\sqrt{4-x ^{2} }+2}{\sqrt{4-x ^{2} }-2} \right| +C}\)
Wartość stałej otrzymuje się wstawiając warunek przechodzenia krzywej przez punkt A.
W obu przypadkach stała C wynosi zero
Przepraszam wszystkich zainteresowanych za wprowadzenie w błąd
To mój błąd . Rozwiązałem zadanie w którym odcinek stycznej zawarty między przecięciami z osiami układu współrzędnych ma stałą długość 2. Wtedy współrzędne obu punktów spełniaja tą zależność.
Tu jednakże stałą długość 2 ma odległość między ponktem stycznośći \(\displaystyle{ \left( x _{0}, y _{0}\right)}\) a przecięciem stycznej \(\displaystyle{ y-y _{0}=f ^{'} \left( x _{0}\right) \left( x-x _{0}\right)}\) z osią OY , czyli punktem \(\displaystyle{ \left( 0, y _{0}-f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right)}\)
Daje to związek
\(\displaystyle{ \sqrt{\left( x _{0}-0 \right) ^{2}+\left( y _{0}-\left( y _{0}-f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right) \right) ^{2} } =2}\)
\(\displaystyle{ x _{0}^{2}+ \left( f ^{'} \left( x _{0}\right) x _{0}\right) ^{2} =4}\)
\(\displaystyle{ \left( f ^{'} \left( x _{0}\right) \right) ^{2} = \frac{4-x _{0} ^{2} }{x _{0} ^{2} }}\)
zależnośc ta zachodzi dla dowolnego x (należącego do dziedziny krzywej)
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } \right) ^{2}= \frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}}\)Daje to dwie zależności
\(\displaystyle{ y ^{'} = \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \wedge y ^{'} =- \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}}}\)
i funkcje spełniające to zadanie
\(\displaystyle{ y = \int_{}^{} \sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \mbox{d}x \wedge y = -\int_{}^{}\sqrt{\frac{4-x ^{2} }{x ^{2}}} \mbox{d}x}\)
ponieważ krzywa przechodzi przez A o dodatniej odciętej to pomijam wartość bezwględną
\(\displaystyle{ y = \int_{}^{} \frac{ \sqrt{4-x ^{2} } }{x}\mbox{d}x \wedge y = -\int_{}^{}\frac{ \sqrt{4-x ^{2} } }{x}\mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ y=- \sqrt{4-x ^{2} } +\ln \left| \frac{\sqrt{4-x ^{2} }+2}{\sqrt{4-x ^{2} }-2} \right| +C}\)
lub \(\displaystyle{ y= \sqrt{4-x ^{2} } -\ln \left| \frac{\sqrt{4-x ^{2} }+2}{\sqrt{4-x ^{2} }-2} \right| +C}\)
Wartość stałej otrzymuje się wstawiając warunek przechodzenia krzywej przez punkt A.
W obu przypadkach stała C wynosi zero
Przepraszam wszystkich zainteresowanych za wprowadzenie w błąd