Obliczanie: pola figur, długosci łuku, objetosci

[gunges]

Witam, męcze sie z tymi zadaniami już kolejny dzień i brak jakichkolwiek pomysłów. Analityczna to czarna magia dla mnie niestety.
1. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:
\(\displaystyle{ y=\frac{x-2}{x-4}}\) ; \(\displaystyle{ y=\frac{x-2}{x+2}}\) ; x=0 ; x=3

2.Oblicz długosc łuku krzywej \(\displaystyle{ y=x\sqrt{x}}\) dla x \(\displaystyle{ \in<0,5>}\)

3.Oblicz objetosc bryły powstalej przez obrót krzywej y=f(x) wokół osi OX
\(\displaystyle{ f(x)=2+3|sinx|}\) dla \(\displaystyle{ x\in<0,2\pi>}\)

4.Napisać rownanie prostej zawierającej wysokosc AA' ostroslupa ABCD i przechodzącej przez punkt D: A(1,1,1) B(2,3,5) C(-1,2,-3) D(0,5,10).

[chris_f]

Z geometrii analitycznej jest tu tylko czwarte zadanie, trzy pierwsze to do rachunku różniczkowego i całkowego.
A czwarte robimy tak:
Skoro ta prosta ma zawierać wysokość, to znaczy, że musi być prostopadła do podstawy - w tym przypadku do płaszczyzny ABC. Wyznaczamy wektory
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[1,2,4],\ \vec{AC}=[-2,1,-4]}\).
Znajdujemy iloczyn wektorowy tych wektorów
\(\displaystyle{ \vec{k}=\vec{AB}\times\vec{AC}=[-12,-4,5]}\), wektor ten jest oczywiście prostopadły do płaszczyzny ABC, możemy go przyjąć za wektor kierunkowy szukanej prostej. Piszemy równanie parametryczne prostej (bo ma przechodzić przez punkt D)
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-12t\\ y=5-4t\\ z=10+5t\end{cases}}\)

[gunges]

Mniej więcej czaje ale nie wiem skad to t sie wzieło

[chris_f]

\(\displaystyle{ t}\) jest parametrem. Przyjmuje dowolną wartość rzeczywistą. Gdy weźmiesz np. \(\displaystyle{ t=3}\) i wstawisz to dostaniesz punkt prostej. Biorąc inną wartość dostaniesz inny punkt.
Poczytaj o równaniu parametrycznym prostej - potrzebny do niego jest punkt z prostej (u nas był to D) i wektor kierunkowy (ten, który wyznaczyliśmy \(\displaystyle{ \vec{k}}\).