Równanie hiperpłaszczyzny w R^4

[weronica007]

W przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) dane są punkty: \(\displaystyle{ p_{1} =(1,0,0,2), p_{2} =(2,1,1,1), p_{3} =(1,-1,2,0)}\) i \(\displaystyle{ p_{4} =(1,1,0,3)}\). Napisać równania parametryczne hiperpłaszczyzny \(\displaystyle{ H_{1}}\) rozpiętej przez podane punkty.

Wiem jak zapisać równanie w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) rozpiętej przez trzy punkty, natomiast w \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) nie bardzo.

[Kmitah]

Równanie ogólne płaszczyzny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\):
\(\displaystyle{ A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + A_4 x_4 = B}\),
gdzie \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3, A_4, B \in \mathbb{R}}\). Punkt \(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4}\) należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) jego współrzędne spełniają powyższe równanie.

My odwracamy sytuację: mamy dane punkty i chcemy znaleźć wartości \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3, A_4, B}\). W tym celu rozwiązujemy układ równań:
\(\displaystyle{ A_1 + 2 A_4 = B}\)
\(\displaystyle{ 2A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = B}\)
\(\displaystyle{ A_1 - A_2 + 2A_3 = B}\)
\(\displaystyle{ A_1 + A_2 + 3A_4 = B.}\)
Jest to układ czterech równań z pięcioma niewiadomymi. W niczym nam to jednak nie przeszkadza, bowiem jeśli:
\(\displaystyle{ A_1 x_1 + A_2 x_2 + A_3 x_3 + A_4 x_4 = B}\)
jest równaniem płaszczyzny, to:
\(\displaystyle{ aA_1 x_1 + aA_2 x_2 +a A_3 x_3 + aA_4 x_4 = aB,}\)
dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}\setminus\{0\}}\) jest równaniem tej samej płaszczyzny. Innymi słowy, nie interesują nas konkretne wartości współczynników \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3, A_4, B}\), lecz ich wzajemne stosunki.

Mam nadzieję, że pomogłem.

[marysia693]

Też robię to zadanie i wyszło mi, że równanie ogólne ma postać \(\displaystyle{ x_{1}+ 2x_{2}+3x _{3}+2x _{4} -1=0}\) . Ja teraz przejść do równań parametrycznych?

A może lepiej zrobić to tak (nie wiem czy to poprawne):
\(\displaystyle{ \vec{u}= \vec{p _{1}p _{2}} =[1,1,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v}= \vec{p _{1}p _{3}}=[0,-1,2,-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{w} = \vec{p _{1}p _{2}}=[0,1,0,1]}\)


\(\displaystyle{ H _{1} : p=p _{1} +s \vec{u}+t \vec{v} +r \vec{w}}\) gdzie \(\displaystyle{ s,t,r \in R}\)
i w miejsce\(\displaystyle{ p _{1}}\) i tych wektorów podstawić }