Napisać równanie prostej (proste skośne)

[vonlac]

Czy mógłbym prosić o sprawdzenie poprawności rozwiązania?

Napisać równanie prostej równoległej do prostej \(\displaystyle{ l: \frac{x+2}{8}= \frac{y-1}{7}= \frac{z-3}{1}}\) i przecinającej dwie proste \(\displaystyle{ l _{1}: \frac{x+3}{2} = \frac{y}{1}= \frac{z-5}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ l _{2}: \frac{x-10}{5}= \frac{y+7}{4}= \frac{z}{1}}\), które są skośne względem prostej \(\displaystyle{ l}\).

Prosta równoległa do \(\displaystyle{ l}\) ma wektor kierunkowy \(\displaystyle{ \vec{u}=[8,7,1]}\).

Równania parametryczne prostych \(\displaystyle{ l_{1}}\) i \(\displaystyle{ l_{2}}\):
\(\displaystyle{ l_{1}: \begin{cases} x=2t-3 \\ y=t \\ z=3t+5 \end{cases}
l_{2}: \begin{cases} x=5m+10 \\ y=4m-7 \\ z=m \end{cases}}\)

Weźmy punkty: \(\displaystyle{ P_{1} \in l_{1}, P_{1}=(2t-3,t,3t+5)}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2} \in l_{2}, P_{2}=(5m+10,4m-7,m)}\).
\(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} = [5m-2t+13,4m-t-7,m-3t-5]}\). Ponadto: \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} = k \cdot \vec{u} = [8k,7k,k], k \in R.}\)

Otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 5m-2t+13=8k \\ 4m-t-7=7k \\ m-3t-5=k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} k=- \frac{83}{2} \\ m=-74 \\ t=- \frac{25}{2} \end{cases}}\)

Oba punkty \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}}\) należą do poszukiwanej prostej. Weźmy np. \(\displaystyle{ P_{1}=(2t-3,t,3t+5)=(-28,- \frac{25}{2} , -\frac{65}{2} )}\). Wówczas równanie tej prostej ma postać: \(\displaystyle{ \frac{x+28}{8} = \frac{y+ \frac{25}{2} }{7}= \frac{z+ \frac{65}{2} }{1}}\).

Na koniec pytanie: jeżeli moje rozwiązanie jest poprawne, to po co jest ta informacja o skośności prostych?

[kerajs]

Poprawnie.

Informacja o skośności nie jest konieczna, sugeruje jednak dokładnie jedno rozwiązanie.
Gdyby jedna z prostych l1, l2 nie była skośna względem l. to byłaby do niej równoległa . Wtedy zadanie byłoby rozwiązywalne tylko dla przecinających się l1 i l2 . Poszukiwana prost (nazwę ją L) pokrywałaby się jedną z danych prostych (a nie je przecinała, jak jest w zadaniu)