Wyznaczenie normalnej trójkąta w przestrzeni

[Chromosom]

Dany jest trójkąt złożony z wierzchołków \(\displaystyle{ (x_i,y_i,z_i),\ \ i\in\{0,1,2\}}\). Należy wyznaczyć współrzędne wektora normalnego do tego trójkąta.

Znam metodę wynikającą z własności iloczynu wektorowego, zastanawiam się czy jest inne rozwiązanie.

[MadJack]

Mamy trzy punkty, więc czy nie wystarczy tak: wziąć punkty \(\displaystyle{ P_0, P_1}\) należące do płaszczyzny wyznaczonej przez ten trójkąt, potem punkt \(\displaystyle{ P_N}\) należący do wektora normalnego tej płaszczyzny przechodzącego przez \(\displaystyle{ P_0}\). I już wystarczy skorzystać z własności iloczynu skalarnego i tego, że \(\displaystyle{ P_0P_1}\) oraz \(\displaystyle{ P_0P_N}\) są prostopadłe. Zauważając, że współczynnik wolny w równaniu opisującym płaszczyznę nie ma wpływu na prostopadłość, dostaniemy, że współczynniki przy \(\displaystyle{ x, y, z}\) są współrzędnymi pewnego wektora normalnego do tej płaszczyzny. Chyba tak będzie dobrze, prawda? Nota bene to skraca wyznaczanie równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty do policzenia iloczynu wektorowego.

[kerajs]

Ale, aby wyznaczyć płaszcyznę zawierająca wierzchołki trójkąta i tak stosuje się iloczyn wektorowy.
Jest on w postaci jawnej gdy wyliczamy tę płaszczyznę lub niejawnej gdy stosujemy gotowy wzór.

Ponieważ w geometrii analitycznej przestrzeni prostopadłość opiera się na iloczynie wektorowym to niezależnie od wybranego sposobu wyliczania normalnej ten iloczyn zawsze się pojawi.