rownanie stycznej

[Lyzka]

napisz rownanie stycznej do okregu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}=4}\) przechodzacej przez punkt \(\displaystyle{ A=(4,0)}\)

[matematyk1995]

Jaki problem? Podstawowe wzory na prostą przechodzącą przez jeden punkt i odległość punktu od prostej.

[Lyzka]

wiele to mi nie pomogles

[matematyk1995]

Ok, od początku.

Równanie ogólne tej stycznej będzie postaci: \(\displaystyle{ y=ax+b}\), dodatkowo wiemy, że ta prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (4, 0)}\), czyli \(\displaystyle{ 0=4a+b}\) Rightarrow \(\displaystyle{ y=ax-4a}\)

Do tego momentu rozumiesz?

[Lyzka]

tak-- 31 maja 2014, o 16:05 --ok juz wiem jak dalej robic dzieki

[matematyk1995]

Teraz musimy obliczyć współczynnik a.

Środek okręgu ma współrzędne \(\displaystyle{ S(0,0)}\) więc \(\displaystyle{ x_s = y_s=0}\)

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: \(\displaystyle{ d(s,l)= \frac{|Ax_s+By_s+C|}{ \sqrt{A^2 +B^2} }}\)

Odległość ta równa będzie promieniowi, czyli d(s, l )= 2

l to jest styczna, czyli : \(\displaystyle{ l: ax-y-4a=0}\) i z tego mamy, że \(\displaystyle{ A=a, B=-1, C=-4a}\)

Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2=\frac{|a \cdot 0 -1 \cdot 0 -4a|}{ \sqrt{a^2 +(-1)^2}}}\)

Czyli: \(\displaystyle{ 2 \cdot \sqrt{a^2 +(-1)^2} = |4a| \Leftrightarrow \sqrt{a^2 +(-1)^2} = |2a|}\)

Wystarczy to równanie rozwiązać i koniec zadania.-- 31 maja 2014, o 17:10 --spoko

[SidCom]

Tak, żebyś była pewnya, to dwa rozwiązania wyglądają tak:

\(\displaystyle{ y= \pm \frac{ \sqrt{3} }{3}(x-4)}\)

[a4karo]

Można też inaczej: równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (4,0)}\) to \(\displaystyle{ y=a(x-4)}\). Fakt, że ta prosta jest styczna do okręgu oznacza, że równanie \(\displaystyle{ x^2+(a(x-4))^2=4}\) ma jeden pierwiastek, czyli ...