równanie stycznej do linii śrubowej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
mooniika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 34 razy

równanie stycznej do linii śrubowej

Post autor: mooniika »

Dzień dobry.
Nie wiem czy to dobry dział...
Mam takie zadanie:
Napisz równanie stycznej do linii śrubowej \(\displaystyle{ (x, y, z) = (2 \cos t, 2 \sin t, t)}\) dla \(\displaystyle{ t = \pi}\). Oblicz odległość punktu styczności od początku układu. Sporządź rysunek.
Wiem, że trzeba tu użyć pochodnych, ale jak to nie wiem dokładnie.
Pozdrawiam serdecznie i czekam na odpowiedź.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

równanie stycznej do linii śrubowej

Post autor: kerajs »

Niech A to punkt krzywej dla \(\displaystyle{ t _{0} = \pi}\)
\(\displaystyle{ A=\left( 2 \cos t _{0}, 2 \sin t _{0}, t _{0} \right)}\)
\(\displaystyle{ A=\left( -2, 0, \pi \right)}\)
Poszukiwana odległość:
\(\displaystyle{ \left| OA\right| = \sqrt{\left( -2\right) ^{2} +\left( 0\right) ^{2} +\left( \pi \right) ^{2} }= \sqrt{4+\left( \pi \right) ^{2} }}\)

Równanie stycznej:
\(\displaystyle{ \frac{x-x\left( t _{0}\right) }{ x ^{'} _{t} \left( t _{0} \right) } = \frac{y-y\left( t _{0}\right) }{ y ^{'} _{t} \left( t _{0} \right) } = \frac{z-z\left( t _{0}\right) }{ z ^{'} _{t} \left( t _{0} \right) }}\)

W tym zadaniu to:
\(\displaystyle{ \frac{x-\left( -2\right) }{0}= \frac{y-0}{-2}= \frac{z- \pi }{1}}\)
Lub w postaci parametrycznej
\(\displaystyle{ x=-2 \wedge y=-2k \wedge z= \pi +k}\) ;gdzie\(\displaystyle{ k \in R}\)

Gdyby nie używać programów graficznych to rysunek zrobiłbym tak:
Narysowałbym delikatnie walec obrotowy o OZ jako osi symetrii i promieniu 2 (\(\displaystyle{ x ^{2} +x ^{2} =4}\)). Dobierając łatwe kąty ,,t' (najlepiej co 45 lub 90 stopni ) otrzymałbym współrzędne punktów lini śrubowej na tym walcu . Ich połączenie dałoby szukaną linię. Następnie narysowałbym płaszczyznę \(\displaystyle{ x=-2}\) (taki równoległobok równoległy do YOZ przechodzący przez (-2,0,0) ). Dobrałbym dwa dowolne k do równania stycznej i te punkty zaznaczyłbym w układzie (będą one należały do płaszczyzny x=-2). Prosta przez nie przechodząca jest szukaną styczną.
mooniika
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 29 lis 2013, o 14:06
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 34 razy

równanie stycznej do linii śrubowej

Post autor: mooniika »

Dzięki )
ODPOWIEDZ